복소타원곡선

개요

• 바이어슈트라스의 타원함수

\[ y^2=4x^3-g_2x-g_3 \]

• 리만구면의 double cover
• branched over 4 points
• 리만곡면

타원곡선의 분류 1

• \(y^2=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)\)
• 네 점은 \(0,1,\infty,\lambda\)
• \(y^2=x(x-1)(x-\lambda)\)의 형태로 표현가능
• 교차비(cross ratio)

\[\lambda_2= \lambda, {1\over\lambda},{1\over{1-\lambda}}, 1-\lambda, {\lambda\over{\lambda-1}}, {{\lambda-1}\over\lambda}\] 인 경우, \(y^2=x(x-1)(x-\lambda)\)와 \(y^2=x(x-1)(x-\lambda_2)\)는 isomorphic

• \(\lambda \mapsto 1-\lambda\) 와 \(\lambda\mapsto \frac{1}{\lambda}\)에 의해 불변인 \(\lambda\)의 유리함수 \(256\frac{\lambda^2-\lambda+1}{\lambda^2(\lambda-1)^2}\)

타원곡선의 분류2

• 복소평면에 있는 격자의 homothety를 이용한 분류
• 타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)