복소함수론
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개요
- 복소함수의 미적분학과 기하학적 성질을 공부함.
- 일변수미적분학은 본래 복소함수론의 세팅에서 배우는 것이 자연스럽고 바람직함.
- 학부수학에서 가장 중요한 과목이며 고등수학으로 나아가는 토대.
- 리만곡면론의 공부를 목표로 삼으면 좋음.
선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들
- 일변수미적분학
- 기초적인 다변수미적분학
- 편미분
- 자코비안
- 선적분
- 그린정리
- 2차원 회전변환
- 평면기하학의 반전 사상(inversion)
다루는 대상
- 복소평면의 도메인, 리만구
- 복소함수
- 뫼비우스 변환
- 초월함수
중요한 개념 및 정리
- 멱급수
- 코쉬 정리
- 유수 정리
- 해석적 연속
- 다가함수
- 리만 곡면
유명한 정리 혹은 생각할만한 문제
다른 과목과의 관련성
- 미분기하학
- 단순연결된 상수곡률곡면과 Uniformization 정리
- 대수적 위상수학
- 호모토피
- 모노드로미
- covering space
- 추상대수학
- discontinous groups
- 뫼비우스변환
- 아래의 '더 공부하면 좋은 것들' 항목 참조
- discontinous groups
관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들
- Special functions
- 타원적분과 타원함수론
- Modular functions, modular forms and Fuchsian automorphic functions
- 대수적 함수와 아벨적분
- 리만곡면론
- 대수곡선론
- Discontinous groups
- Fuchsian groups, 클라인군(Kleinian groups), 쇼트키군(Schottky groups)
- Teichmüller theory
표준적인 교과서
- Complex Analysis
- Lars Ahlfors, 3rd edition, McGraw-Hill, 1979
관련도서 및 보조교재
- Gareth A. Jones and David Singerman, Complex Functions: An Algebraic and Geometric Viewpoint
관련논문
- Gundersen, Gary G. “Questions on Meromorphic Functions and Complex Differential Equations.” arXiv:1509.02225 [math], September 7, 2015. http://arxiv.org/abs/1509.02225.
- Simonič, Aleksander. “The Ahlfors Lemma and Picard’s Theorems.” arXiv:1506.07019 [math], June 22, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.07019.
- Redheffer, Raymond. “The Homotopy Theorems of Function Theory.” The American Mathematical Monthly 76, no. 7 (August 1, 1969): 778–87. doi:10.2307/2317866.