"분수와 순환소수"의 두 판 사이의 차이
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| − | + | ==개요== | |
| − | * 유리수 또는 분수를 십진법으로 전개하면, 순환마디를 얻을 수 있다 | + | * 유리수 또는 분수를 십진법으로 전개하면, 순환마디를 얻을 수 있다 |
| − | * | + | * 초등정수론에 대해 공부할 수 있는 소재가 풍부한 좋은 수학 문제 |
| − | * 수학자 | + | ** 순환마디의 길이는 어떻게 결정되는가의 문제 등 |
| + | * 수학자 가우스가 소년 시절에 이에 대하여 연구하였다 | ||
** [[가우스와 순환소수]] | ** [[가우스와 순환소수]] | ||
| + | * [[간단한 분수의 순환소수 전개 목록|1/n 의 순환소수 전개 목록]]을 함께 참고 | ||
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| − | + | ==142857의 여러가지 성질== | |
| − | + | * 142857 X 1 = 142857, 142857 X 2 = 285714, 142857 X 3 = 428571 142857 X 4 = 571428, 142857 X 5 = 714285, 142857 X 6 = 857142 | |
| − | * 142857 X 1 = 142857, 142857 X 2 = 285714, 142857 X 3 = 428571 | + | * 142857 X 7 = 999999 |
| − | * | + | * 142 + 857 = 999 |
| − | * 142 + 857 = 999 14 + 28 + 57 = 99 | + | * 14 + 28 + 57 = 99 |
| + | * 이 성질은 다음 순환소수 전개를 통하여 이해할 수 있다:<math>1/7=0.142857142857\cdots</math> | ||
| + | * [['142857의 신비' 해설|142857의 성질과 해설]] | ||
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| − | + | ==순환마디의 길이== | |
| − | * 순환마디의 길이는 어떻게 결정될까? | + | * <math>1/n</math>의 순환마디의 길이는 어떻게 결정될까? |
| − | * [[합동식과 군론]] | + | * n이 2와 5를 나누지 않는 경우를 생각하자 |
| + | * <math>10^k \equiv 1 \pmod n</math> 를 만족시키는 가장 작은 자연수 <math>k</math>가 순환 마디의 길이가 된다 | ||
| + | * 군론의 언어를 사용하면 원소 10의 군 <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> 에서의 order가 바로 <math>1/n</math>의 순환마디의 길이가 됨 | ||
| + | * [[오일러의 totient 함수]] 의 순환마디의 길이는 <math>\varphi(n)</math> 를 나누게 된다 | ||
| + | * 군 <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math>의 정의에 대해서는 [[합동식과 군론]] 참조 | ||
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| − | + | ==순환마디를 얻는 과정의 이해== | |
| − | < | + | * <math>1/7=0.142857142857\cdots</math>를 얻는 나누기 과정 |
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| − | + | * 주목해서 보아야 하는 것은 위에 나타는 몫 142857 이 아니라, 나누기의 중간 과정에서 7로 나눈 나머지로 등장하는 빨간 줄을 친 수들이다. 1,3,2,6,4,5, 그리고 1 | |
| + | * 빨간 부분의 숫자가 1로 시작하여, 3,2,6,4,5 를 지나서 1이 다시 나오는 순간, 위의 몫 부분에서는 142857이 다시 반복되게 됨을 관찰할 수 있음 | ||
| + | * 따라서 언제 다시 빨간 1이 다시 나오는가가, 순환마디의 길이를 결정하게 된다. | ||
| + | * 빨간 줄 친 숫자들, 1,3,2,6,4,5, 1 가 얻어진 과정의 관찰 | ||
| + | * 나누기 과정을 유심히 들여다 보면, 다음과 같은 것을 발견 | ||
| − | + | <math>10^0 \equiv 1 \pmod 7</math> | |
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| + | <math>10^1 \equiv 10 \equiv 3 \pmod 7</math> | ||
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| + | <math>10^2 \equiv 30 \equiv 2 \pmod 7</math> | ||
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| + | <math>10^3 \equiv 20 \equiv 6 \pmod 7</math> | ||
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| + | <math>10^4 \equiv 60 \equiv 4 \pmod 7</math> | ||
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| + | <math>10^5 \equiv 40 \equiv 5 \pmod 7</math> | ||
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| + | <math>10^6 \equiv 50 \equiv 1 \pmod 7</math> | ||
| − | * | + | * 1,3,2,6,4,5, 1 은 바로 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000 들을 7로 나눈 나머지이다 |
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| − | + | ==cyclic numbers== | |
| − | + | * [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/A001913 Cyclic numbers: primes with primitive root 10.] | |
| + | * [[cyclic numbers]] | ||
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| − | + | * [[분수와 순환소수]] | |
| + | ** [[간단한 분수의 순환소수 전개 목록|1/n 의 순환소수 전개 목록]] | ||
| + | ** [[cyclic numbers]] | ||
| + | ** [[가우스와 순환소수]] | ||
| + | ** [[미디의 정리(Midy's theorem)]] | ||
| + | ** [[순환소수에 대한 아틴의 추측]] | ||
| + | ** [[순환소수와 class number]] | ||
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| − | + | ==관련된 고교수학 또는 대학수학== | |
* 유리수 | * 유리수 | ||
| − | * 정수 | + | * 정수 |
** 약수와 배수 | ** 약수와 배수 | ||
| − | * 합동식, 잉여류, | + | * [[합동식 (모듈로 modulo 연산)|합동식]], 잉여류, [[원시근(primitive root)|원시근]], [[이차잉여의 상호법칙|이차잉여]], [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)|이차형식]] |
| − | * [[초등정수론]] | + | * [[초등정수론]] |
** 오일러-페르마 정리 | ** 오일러-페르마 정리 | ||
| − | * [[추상대수학]] | + | * [[추상대수학]] |
** 순환군 | ** 순환군 | ||
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| − | + | ==관련된 항목들== | |
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| − | + | * [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]] | |
| + | * [[원시근(primitive root)]] | ||
| + | * [[p진해석학(p-adic analysis)|p-adic analysis]] | ||
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| − | + | * http://en.wikipedia.org/wiki/decimal_fraction | |
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| − | * | + | * Higher mathematics from elementary point of view |
| − | * | + | ** Hans Rademacher |
| − | * | + | ** Chapter 5. Decimal Fractions ([[1979584/attachments/1370998|pdf]]) |
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| + | * Bantchev, Boyko B. “Fraction Space Revisited.” arXiv:1507.03952 [math], July 14, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.03952. | ||
| + | * Lawrence Brenton , [http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3329&bodyId=3682 Remainder Wheels and Group Theory] College Mathematics Journal, vol. 39, no. 2, March 2008, pp. 129-135 | ||
| + | * [http://www.jstor.org/stable/3026586 The Alluring Lore of Cyclic Numbers] | ||
| + | ** Michael W. Ecker, <cite>The Two-Year College Mathematics Journal</cite>, Vol. 14, No. 2 (Mar., 1983), pp. 105-109 | ||
| + | * [[#%20Fractions%20with%20Cycling%20Digit%20Patterns%20#%20Dan%20Kalman%20#%20The%20College%20Mathematics%20Journal,%20Vol.%2027,%20No.%202%20%28Mar.,%201996%29,%20pp.%20109-115%20|Fractions with Cycling Digit Patterns]] | ||
| + | ** Dan Kalman, <cite>The College Mathematics Journal</cite>, Vol. 27, No. 2 (Mar., 1996), pp. 109-115 | ||
| + | * [http://www.jstor.org/stable/2686394 Repeating Decimals] | ||
| + | ** W. G. Leavitt, <cite>The College Mathematics Journal</cite>, Vol. 15, No. 4 (Sep., 1984), pp. 299-308 | ||
| − | + | ==관련기사== | |
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| − | + | * 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정) | |
| + | ** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%EC%88%9C%ED%99%98%EC%86%8C%EC%88%98 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=순환소수] | ||
| + | ** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=142857 | ||
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| − | + | ==블로그== | |
| − | + | * 142857의 신비 (피타고라스의 창) | |
| + | ** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/02/726 142857와 군론의 만남(1)] | ||
| + | ** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/04/729 142857와 군론의 만남(2)] | ||
| + | ** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/04/730 142857와 군론의 만남(3) : 142857의 신비, 완벽해설!] | ||
| + | ** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/06/731 142857와 군론의 만남(4) : 소년 가우스의 실험장] | ||
| + | ** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/06/733 142857와 군론의 만남(5) : 둘이 함께 추는 춤] | ||
| + | ** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/08/735 142857과 군론의 만남(6) : 군론의 흔적] | ||
| + | * 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=142857 | ||
| + | [[분류:중학수학]] | ||
| + | [[분류:중학수학]] | ||
| − | * | + | ==메타데이터== |
| + | ===위키데이터=== | ||
| + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q81365 Q81365] | ||
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LEMMA': 'decimal'}] | ||
| + | * [{'LOWER': 'base'}, {'LEMMA': 'ten'}] | ||
| + | * [{'LEMMA': 'denary'}] | ||
| + | * [{'LOWER': 'decimal'}, {'LOWER': 'numeral'}, {'LEMMA': 'system'}] | ||
| + | * [{'LOWER': 'decimal'}, {'LEMMA': 'system'}] | ||
| + | * [{'LOWER': 'base'}, {'LEMMA': '10'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 05:45 기준 최신판
개요
- 유리수 또는 분수를 십진법으로 전개하면, 순환마디를 얻을 수 있다
- 초등정수론에 대해 공부할 수 있는 소재가 풍부한 좋은 수학 문제
- 순환마디의 길이는 어떻게 결정되는가의 문제 등
- 수학자 가우스가 소년 시절에 이에 대하여 연구하였다
- 1/n 의 순환소수 전개 목록을 함께 참고
142857의 여러가지 성질
- 142857 X 1 = 142857, 142857 X 2 = 285714, 142857 X 3 = 428571 142857 X 4 = 571428, 142857 X 5 = 714285, 142857 X 6 = 857142
- 142857 X 7 = 999999
- 142 + 857 = 999
- 14 + 28 + 57 = 99
- 이 성질은 다음 순환소수 전개를 통하여 이해할 수 있다\[1/7=0.142857142857\cdots\]
- 142857의 성질과 해설
순환마디의 길이
- \(1/n\)의 순환마디의 길이는 어떻게 결정될까?
- n이 2와 5를 나누지 않는 경우를 생각하자
- \(10^k \equiv 1 \pmod n\) 를 만족시키는 가장 작은 자연수 \(k\)가 순환 마디의 길이가 된다
- 군론의 언어를 사용하면 원소 10의 군 \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\) 에서의 order가 바로 \(1/n\)의 순환마디의 길이가 됨
- 오일러의 totient 함수 의 순환마디의 길이는 \(\varphi(n)\) 를 나누게 된다
- 군 \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)의 정의에 대해서는 합동식과 군론 참조
순환마디를 얻는 과정의 이해
- \(1/7=0.142857142857\cdots\)를 얻는 나누기 과정
- 주목해서 보아야 하는 것은 위에 나타는 몫 142857 이 아니라, 나누기의 중간 과정에서 7로 나눈 나머지로 등장하는 빨간 줄을 친 수들이다. 1,3,2,6,4,5, 그리고 1
- 빨간 부분의 숫자가 1로 시작하여, 3,2,6,4,5 를 지나서 1이 다시 나오는 순간, 위의 몫 부분에서는 142857이 다시 반복되게 됨을 관찰할 수 있음
- 따라서 언제 다시 빨간 1이 다시 나오는가가, 순환마디의 길이를 결정하게 된다.
- 빨간 줄 친 숫자들, 1,3,2,6,4,5, 1 가 얻어진 과정의 관찰
- 나누기 과정을 유심히 들여다 보면, 다음과 같은 것을 발견
\(10^0 \equiv 1 \pmod 7\)
\(10^1 \equiv 10 \equiv 3 \pmod 7\)
\(10^2 \equiv 30 \equiv 2 \pmod 7\)
\(10^3 \equiv 20 \equiv 6 \pmod 7\)
\(10^4 \equiv 60 \equiv 4 \pmod 7\)
\(10^5 \equiv 40 \equiv 5 \pmod 7\)
\(10^6 \equiv 50 \equiv 1 \pmod 7\)
- 1,3,2,6,4,5, 1 은 바로 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000 들을 7로 나눈 나머지이다
cyclic numbers
하위페이지
관련된 고교수학 또는 대학수학
관련된 항목들
사전 형태의 자료
관련도서
- Higher mathematics from elementary point of view
- Hans Rademacher
- Chapter 5. Decimal Fractions (pdf)
관련논문
- Bantchev, Boyko B. “Fraction Space Revisited.” arXiv:1507.03952 [math], July 14, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.03952.
- Lawrence Brenton , Remainder Wheels and Group Theory College Mathematics Journal, vol. 39, no. 2, March 2008, pp. 129-135
- The Alluring Lore of Cyclic Numbers
- Michael W. Ecker, The Two-Year College Mathematics Journal, Vol. 14, No. 2 (Mar., 1983), pp. 105-109
- Fractions with Cycling Digit Patterns
- Dan Kalman, The College Mathematics Journal, Vol. 27, No. 2 (Mar., 1996), pp. 109-115
- Repeating Decimals
- W. G. Leavitt, The College Mathematics Journal, Vol. 15, No. 4 (Sep., 1984), pp. 299-308
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
블로그
- 142857의 신비 (피타고라스의 창)
- 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=142857
메타데이터
위키데이터
- ID : Q81365
Spacy 패턴 목록
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