분수와 순환소수

[1]
142857 X 1 = 142857, 142857 X 2 = 285714, 142857 X 3 = 428571
142857 X 4 = 571428, 142857 X 5 = 714285, 142857 X 6 = 857142
142857 X 7 = 999999
142 + 857 = 999 14 + 28 + 57 = 99

\(1\over n\) 의 순환마디의 길이는 어떻게 결정될까?
n이 2와 5를 나누지 않는 경우를 생각하자.
원소 10의 군 \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\) 에서의 order가 바로 \(1\over n\) 의 순환마디의 길이가 됨
- 정의에 대해서는 합동식과 군론 참조
다시 말하자면, \(10^k \equiv 1 \pmod n\) 를 만족시키는 가장 작은 자연수 \(k\)가 순환 마디의 길이가 된다

\(\frac{1}{7}=0.142857142857\cdots\) 를 얻는 나누기 과정을 살펴보자.

여러분이 지금부터 주목해서 보아야 하는 것은 위에 나타는 몫 142857 이 아니라, 나누기의 중간 과정에서 7로 나눈 나머지로 등장하는 빨간 줄을 친 수들이다. 1,3,2,6,4,5, 그리고 1

이다. 빨간 부분의 숫자가 1로 시작하여, 3,2,6,4,5 를 지나서 1이 다시 나오는 순간, 위의 몫 부분에서는 142857이 다시 반복되게 됨을 관찰할 수 있다. 따라서 언제 다시 빨간 1이 다시 나오는가가, 순환마디의 길이를 결정하게 된다.

빨간 줄 친 숫자들, 1,3,2,6,4,5,1가 어떻게 해서 얻어진 것인지를 한번 따져보자. 나누기 과정을 유심히 들여다 보면, 다음과 같은 것을 발견하게 된다.

\(10^0 \equiv 1 \pmod 7\)

\(10^1 \equiv 10 \equiv 3 \pmod 7\)

\(10^2 \equiv 30 \equiv 2 \pmod 7\)

\(10^3 \equiv 20 \equiv 6 \pmod 7\)
\(10^4 \equiv 60 \equiv 4 \pmod 7\)
\(10^5 \equiv 40 \equiv 5 \pmod 7\)
\(10^6 \equiv 50 \equiv 1 \pmod 7\)

1,3,2,6,4,5,1 은 바로 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000 들을 7로 나눈 나머지임을 알 수 있다.

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