"비유클리드 기하학"의 두 판 사이의 차이

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<h5>간단한 소개</h5>
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==개요==
  
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2차원의 기하학은 다음의 세 가지 종류로 분류된다.
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* 2차원의 기하학은 다음의 세 가지 종류로 분류된다.
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*  평면기하학 (Euclidean geometry)
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* 구면기하학 (Spherical geometry)
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* 쌍곡기하학 (Hyperbolic geometry)
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* 주어진 곡면을 잘 변형시켜 서 모든 점이 일정한 곡률을 갖도록 해주면, 그 곡률은 양수가 되거나, 0이 되거나, 또는 음수가 되는데, 이는 [[가우스-보네 정리|가우스-보네 정리]]에 의하면, 곡면의 위상적 성질에 따라 결정된다.
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* 즉, "위상적 성질이 기하학을 결정한다". 이 때, 곡률의 부호에 따라 각각의 곡면을 위에 나열한 세가지 종류의 기하학으로 분류한다.
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* 이 중에서 쌍곡기하학을 일컬어, 보통 비유클리드 기하학이라 한다
  
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1. 구면기하학 (Spherical geometry)<br> 2. 평면기하학 (Euclidean geometry)<br> 3. 쌍곡기하학 (Hyperbolic geometry)
 
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주어진 곡면을 잘 변형시켜 서 모든 점이 일정한 곡률을 갖도록 해주면, 그 곡률은 양수가 되거나, 0이 되거나, 또는 음수가 되는데, 이는 가우스-보네의 정리에 의하면, 곡면의 위상적 성질에 따라 결정된다. 즉, ‘위상적 성질이 기하학을 결정한다’. 뭔 말인지 하나도 알아들을 수 없다 생각되지만, 이 위상수학과 기하학의 이야기는 언젠가 다시 때가 되면 차근차근 다루겠다는 것을 약속하며 나중으로 미뤄둔다. 아무튼 곡률의 부호에 따라 각각의 곡면을 위에 나열한 세가지 종류의 기하학으로 분류한다. '''이 중에서 쌍곡기하학을 일컬어, 보통 비유클리드 기하학이라 하는 것이다.'''
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==관련된 고교수학 또는 대학수학==
  
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아래의 도표는 구면을 똑같이 생긴 삼각형들로 채울수 있는 경우 중에서 가장 중요한 것들이다.
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* [[미분기하학]]
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{| style="margin: 1em auto; text-align: center; border-collapse: collapse;"
 
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! 구면기하학
 
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! T<sub>d</sub>
 
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! O<sub>h</sub>
 
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! I<sub>h</sub>
 
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! *332
 
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! *432
 
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! *532
 
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| [[]]
 
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<br> ( 3 3 2)
 
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| [[]]
 
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<br> (4 3 2)
 
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| [[]]
 
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<br> (5 3 2)
 
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|}
 
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이 표의 그림속에 구면 위에 그려진 삼각형들이 바로 구면삼각형들인데, 예를 들어 가운데 (4 3 2)라는 녀석은 그 삼각형의 세 각이 각각
 
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<math>\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}</math>
 
−
 
 
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라는 것을 말한다. 이 삼각형의 세각을 더해보면,
 
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<math>\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{13\pi}{12}</math>
 
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가 되어 180도 보다 크다는 것을 알 수 있다. '''구면기하학에서는 일반적으로 삼각형의 세 각을 더하면 180도보다 크게 된다.''' 이는 곡률이 양수이기 때문에 나타나는 현상이다. 눈썰미가 좋은 사람들이라면, 이 삼각형들이 정다면체와 연관이 있다는 것을 알수 있을 것이다.
 
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아래의 도표는 각각 평면기하학, 쌍곡기하학에서 공간을 똑같은 삼각형으로 채울수 있는 그림을 그려놓은 것이다. 쌍곡기하학의 그림은 예전의 포스팅 ‘[http://bomber0.byus.net/index.php/2008/01/08/509 에셔의 예술에 공헌한 수학]‘과 ‘[http://bomber0.byus.net/index.php/2007/12/13/481 Hurwitz의 정리: Compact Riemann Surface의 Automorphism group]‘에서도 언급한 적이 있다.
 
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{| style="margin: 1em auto; text-align: center; border-collapse: collapse;"
 
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|-
 
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! 평면기하학
 
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! 쌍곡기하학
 
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|-
 
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! p4m
 
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! p3m
 
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! p6m
 
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!  
 
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!  
 
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!  
 
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|-
 
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! *442
 
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! *333
 
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! *632
 
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! *732
 
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! *542
 
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! *433
 
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|-
 
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| [[]]
 
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<br> (4 4 2)
 
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| [[]]
 
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<br> (3 3 3)
 
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| [[]]
 
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<br> (6 3 2)
 
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| [[]]
 
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<br> (7 3 2)
 
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| [[]]
 
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<br> (5 4 2)
 
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| [[]]
 
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<br> (4 3 3)
 
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|}
 
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구면기하학에서 했던 것을, 평면기하학의 (6 3 2)라는 녀석에 대해서 해보면,
 
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<math>\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\pi</math>
 
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가 되어 삼각형이 세 각의 합이 180도가 됨을 확인할 수 있다. '''평면의 곡률이 0 이기 때문에 나타나는 현상이다.'''
 
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한편 쌍곡기하학에서도 예를 들어 하나 해보면, (7 3 2)라는 것은 그 삼각형의 세 각이 각각
 
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<math>\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}</math>
 
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라는 것을 말한다. 이 세각의 크기를 모두 더하면,
 
−
 
 
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<math>\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{41\pi}{42}</math>
 
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가 되어, 180도보다 작게 된다. '''쌍곡기하학에서의 곡률은 음수이기 때문에 나타나는 현상이다.'''
 
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위의 그림들처럼 그 공간을 똑같이 생긴 삼각형으로 채운 그림은, 지금 나온것만 해도 위상수학, 미분기하학, 군론 등등 많은 수학을 이어주기 때문에, 중요하다. 가령 아래 그림 역시 쌍곡기하학의 그림인데, [http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_group Modular group]이라고 하는 수학적으로 매우 중요한 대상을 공부할 때, 반드시 등장한다. 참고로 이 그림에 등장하는 삼각형은 <math> (2, 3, \infty)</math>이다.
 
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사 람들은 유클리드 기하학이 가장 쉬운 기하학이라고 생각을 하지만, 삼각형의 넓이 구하는 일을 생각하면 꼭 그렇지가 않다. 초등학교에 가면 삼각형의 넓이 구하는 방법을 가르쳐주는데, 변의 길이를 적어도 하나는 꼭 알아야 한다. 그런데 hyperbolic geometry에서는 변의 길이를 알필요가 전혀 없다. '''각도가 모든 것을 결정한다'''!!! 삼각형의 세 각이 <math>\alpha, \beta, \gamma</math>로 주어져 있다면
 
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<math> Area = \pi - \alpha- \beta- \gamma</math>
 
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</blockquote>
 
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이제 Unit Disk를 겹치지 않으면서도 빽빽하게 채울수 있는 가장 작은 삼각형은 무엇인지를 알아야 할 필요가 있다. 이 문제는 풀려고 든다면 사실,
 
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<blockquote>
 
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<math>1- (\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n})</math>
 
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</blockquote>
 
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를 0보다 크면서 동시에 가장 작게 만드는 자연수 l,m,n 를 찾는 것과 같게 된다.
 
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정답은 바로 아래의 그림에 있다. 혹시나 이런 그림을 읽을줄 모르는 사람들을 오늘 이걸 잘 봐둬서 앞으로 이런 류의 그림을 볼때 편안한 마음을 가질수 있도록 한다.
 
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그림에 있는 삼각형 한 조각을 들고 와서 각을 잰다. 어떻게 하면 되겠는가. 각을 재려는 점 주변에 삼각형이 몇개 있는지 세서 나누면 된다. 각각 4조각, 6조각, 14조각이 있다. 그러므로 각도는
 
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<blockquote>
 
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<math> \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{7}</math>
 
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</blockquote>
 
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로 주어진다. 이를 [http://en.wikipedia.org/wiki/%282,3,7%29_triangle_group (2,3,7) 삼각형]이라 부른다. 위의 넓이 공식에 의하면, 이 삼각형의 넓이는
 
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<math> Area = \pi - \frac{\pi}{2}- \frac{\pi}{3}- \frac{\pi}{7}=\frac{\pi}{42}</math>
 
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</blockquote>
 
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<h5>하위주제들</h5>
 
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* [[search?q=%EA%B5%AC%EB%A9%B4%EA%B8%B0%ED%95%98%ED%95%99&parent id=3064880|구면기하학]]
 
  
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==== 하위페이지 ====
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==역사==
  
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* [[1964250|0 토픽용템플릿]]<br>
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* [[수학사 연표]]
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** [[2060652|0 상위주제템플릿]]<br>
 
  
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==메모==
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* http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=비유클리드
  
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<h5>재미있는 사실</h5>
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==관련된 항목들==
  
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* [[반전 사상(inversion)]]
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<h5>관련된 단원</h5>
 
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<h5>많이 나오는 질문</h5>
 
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*  네이버 지식인<br>
 
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** http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
 
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<h5>관련된 고교수학 또는 대학수학</h5>
 
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* [[미분기하학]]
 
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<h5>관련된 다른 주제들</h5>
 
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* [[반전사상(inversion)]]
 
 
* [[리만 사상 정리 Riemann mapping theorem and the uniformization theorem|Riemann mapping theorem and the uniformization theorem]]
 
* [[리만 사상 정리 Riemann mapping theorem and the uniformization theorem|Riemann mapping theorem and the uniformization theorem]]
 
* [[가우스-보네 정리]]
 
* [[가우스-보네 정리]]
 +
* [[ADE의 수학]]
 +
* [[비유클리드 기하학]]
 +
** [[구면(sphere)]]
 +
** [[구면기하학]]
 +
** [[쌍곡기하학]]
 +
** [[유클리드평면]]
 +
** [[푸앵카레 상반평면 모델]]
  
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<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
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==사전 형태의 자료==
  
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*  도서내검색<br>
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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** http://books.google.com/books?q=
 
−
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
−
*  도서검색<br>
 
−
** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
−
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
  
−
 
+
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B9%84%EC%9C%A0%ED%81%B4%EB%A6%AC%EB%93%9C http://ko.wikipedia.org/wiki/비유클리드]
 +
* http://en.wikipedia.org/wiki/non-Euclidean_geometry
  
−
<h5>참고할만한 자료</h5>
+
  
−
* [http://www.amazon.com/Poincare-Half-Plane-Bartlett-Gateway-Geometry/dp/086720298X Poincare Half-Plane (A Gateway to Modern Geometry)]<br>
+
==관련도서==
−
**  S. Stahl<br>
+
 
−
* [http://www.amazon.com/Geometry-Surfaces-John-Stillwell/dp/0387977430 Geometry of Surfaces]<br>
+
* [http://www.amazon.com/Poincare-Half-Plane-Bartlett-Gateway-Geometry/dp/086720298X Poincare Half-Plane (A Gateway to Modern Geometry)]
 +
**  S. Stahl
 +
* [http://www.amazon.com/Geometry-Surfaces-John-Stillwell/dp/0387977430 Geometry of Surfaces]
 
** John Stillwell
 
** John Stillwell
−
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
−
* http://front.math.ucdavis.edu/search?a=&t=&c=&n=40&s=Listings&q=
 
−
* http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&co7=AND&Submit=Search&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&s7=
 
−
* 다음백과사전 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q=
 
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]
 
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<h5>관련기사</h5>
 
  
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네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* Straume, Eldar. “A Survey of the Development of Geometry up to 1870.” arXiv:1409.1140 [math], September 3, 2014. http://arxiv.org/abs/1409.1140.
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* Shenitzer, Abe. “How Hyperbolic Geometry Became Respectable.” The American Mathematical Monthly 101, no. 5 (May 1, 1994): 464–70. doi:10.2307/2974912.
  
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* http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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* http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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* http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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* http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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* http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
  
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<h5>블로그</h5>
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==블로그==
  
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*  피타고라스의 창<br>
+
*  피타고라스의 창
 
** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/10/03/799 비유클리드 기하학 입문(1) : 에셔의 CIRCLE LIMIT 시리즈]
 
** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/10/03/799 비유클리드 기하학 입문(1) : 에셔의 CIRCLE LIMIT 시리즈]
 
** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/10/03/806 비유클리드 기하학 입문(2) : 휘어진 공간]
 
** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/10/03/806 비유클리드 기하학 입문(2) : 휘어진 공간]
229번째 줄: 77번째 줄:
 
** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/10/22/839 비유클리드 기하학 입문(5) : 반전에 반전 … 반전만 구백번…]
 
** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/10/22/839 비유클리드 기하학 입문(5) : 반전에 반전 … 반전만 구백번…]
 
** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/11/14/872 비유클리드 기하학 입문(6) : 세가지의 2차원 기하학]
 
** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/11/14/872 비유클리드 기하학 입문(6) : 세가지의 2차원 기하학]
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* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
 
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* 트렌비 블로그 검색 http://www.trenb.com/search.qst?q=
 
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<h5>이미지 검색</h5>
 
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* http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ASearch&search=
 
−
* http://images.google.com/images?q=
 
−
* [http://www.artchive.com/ http://www.artchive.com]
 
−
 
−
 
 
−
 
−
<h5>동영상</h5>
 
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−
* http://www.youtube.com/results?search_type=&search_query=
 

2014년 9월 6일 (토) 22:13 판

개요

  • 2차원의 기하학은 다음의 세 가지 종류로 분류된다.
  • 평면기하학 (Euclidean geometry)
  • 구면기하학 (Spherical geometry)
  • 쌍곡기하학 (Hyperbolic geometry)
  • 주어진 곡면을 잘 변형시켜 서 모든 점이 일정한 곡률을 갖도록 해주면, 그 곡률은 양수가 되거나, 0이 되거나, 또는 음수가 되는데, 이는 가우스-보네 정리에 의하면, 곡면의 위상적 성질에 따라 결정된다.
  • 즉, "위상적 성질이 기하학을 결정한다". 이 때, 곡률의 부호에 따라 각각의 곡면을 위에 나열한 세가지 종류의 기하학으로 분류한다.
  • 이 중에서 쌍곡기하학을 일컬어, 보통 비유클리드 기하학이라 한다


관련된 고교수학 또는 대학수학


역사


메모


관련된 항목들


사전 형태의 자료


관련도서


리뷰, 에세이, 강의노트

  • Straume, Eldar. “A Survey of the Development of Geometry up to 1870.” arXiv:1409.1140 [math], September 3, 2014. http://arxiv.org/abs/1409.1140.
  • Shenitzer, Abe. “How Hyperbolic Geometry Became Respectable.” The American Mathematical Monthly 101, no. 5 (May 1, 1994): 464–70. doi:10.2307/2974912.



블로그

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