사각 피라미드 퍼즐

개요

• 공으로 다음 그림처럼 밑면이 정사각형인 피라미드를 쌓는다고 하면, 피라미드가 몇 층이 될 때, 공의 개수가 완전제곱수가 될까?

• 1층 또는 24층 두 경우만이 가능하다
• Lucas problem 또는 Canonball problem 이라는 이름으로 불리기도 함.
• 다음 타원곡선의 정수해 문제로 이해할 수 있음.

\[y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6} \label{eq}\]

티오판투스 방정식

• 수식으로 표현하면 다음과 같은 디오판투스 방정식이 얻어진다

\[1^2+\cdots+ n^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=m^2\]

• 거듭제곱의 합을 구하는 공식이 사용되었다
• 답은 두 쌍이 존재\[(n,m)=(1,1) \text{ or } (24,70)\]

다른 정수계수 타원곡선으로의 변형

• \(y^2=x^3-36x\) 의 정수해를 찾는 문제로의 변형
• \ref{eq}에서 \(x=\frac{x_1-6}{12}\), \(y=\frac{y_1}{72}\) 로 치환하면, 다음을 얻는다.

\[y_1^2=x_1^3-36x_1 \label{eq2}\]

• \ref{eq}의 정수해는 위의 치환에 의해 \ref{eq2}의 정수해에 대응되므로, \ref{eq2}의 정수해를 모두 찾으면 된다.
• \ref{eq2}의 모든 정수해는 \((x_1,y_1)= (0, 0), (\pm6, 0), (-3,\pm9), (-2,\pm8), (12,\pm36), (18,\pm72), (294,\pm5040)\) 이다. [DP2009]
• 이 중에서 \(y_1\)이 72의 배수가 되는 경우는 \((18,\pm72), (294,\pm5040)\)
• 위에서 찾은 정수해는 타원곡선\(y^2=x^3-36x\)의 rank가 1이상임을 증명한다
• 이는 또한 6이 합동수 임을 증명한다

부분적인 풀이

서로소인 3 개의 수의 곱이 완전 제곱수라면 그 3 개의 수가 각각 완전제곱수 임을 이용하자. x ≡ -2 (mod 6) 인 경우 \(x=6t-2\)로 두면, \((3t-1)(6t-1)(4t-1) = y^2\)

x ≡ 3 (mod 6)인 경우 (2t+1)(3t+2)(12t+7) = y²

x ≡ -1 (mod 6)인 경우 (6t+5)(t+1)(12t+11) = y²

세번째 인수들은 완전제곱 ≡ -1 (mod 4) 이 되므로 모순이다.

x ≡ 2 (mod 6) 인 경우 (3t+1)(2t+1)(12t+5) = y²

3t+1=p^2, 12t+5=q^2 으로 두면, q^2-4p^2=1이고 p=0 이어야 하므로, 모순이다.

메모

• 24차원의 리치 격자는, 26차원 even unimodular 격자 \(II_{25,1}\)의 길이 0인 벡터 \((0,1,2,3,\dots,22,23,24; 70)\)을 사용하여 구성할 수 있다

관련된 고교수학

• 04 부분합과 급수

관련된 항목들

• 타원곡선
• 초등정수론
• Number 12 and 24
• 합동수 문제 (congruent number problem)

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Leech_lattice
• http://mathworld.wolfram.com/SquarePyramidalNumber.html

관련논문

• [DP2009]Solving the Diophantine equation y2=x(x2−n2)
  • Konstantinos Draziotis, Dimitrios Poulakis, Journal of Number Theory, Volume 129, Issue 3, March 2009, Pages 739-740,
• Practical solution of the Diophantine equation $ y^2 = x(x+2^ap^b)(x-2^ap^b)$
  • Konstantinos Draziotis; Dimitrios Poulakis, Math. Comp. 75 (2006), 1585-1593.
• Lucas' Square Pyramid Problem Revisited
  • Michael A. Bennett, Acta Arithmetica Vol.105 NO.4 / 2002
• The Diophantine equation $b^2X^4-dY^2=1$
  • M. A. Bennett and P. G. Walsh, Proc. Amer. Math. Soc. 127 (1999), 3481-3491
• The Diophantine equation x4− Dy2= 1 II
  • J.H.E Cohn, Acta Arith, 1997
• The Square Pyramid Puzzle
  • W. S. Anglin, The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), pp. 120-124
• THE DIOPHANTINE EQUATION x. 4. -Dy. 2. = 1.
  • J.H.E Cohn, Quart. J. Math. Oxford (3),J26 (1975), 279-281

블로그

• 사각 피라미드 퍼즐(1) Secret Math Blog, 2009-1
• The Square Pyramid Puzzle
  • Wir müssen wissen, Wir werden wissen, 2009-1-8