사영기하학

사영평면

• 사영평면은 점의 집합, 직선의 집합과 아래의 조건을 만족시키는 incidence 관계로 이루어진다
  • 서로 다른 두 점을 잇는 유일한 직선이 존재한다
  • 서로 다른 두 직선은 한 점에서 만난다
  • 한 직선 위에 있지 않은 세 점이 존재한다
  • 각각의 직선에는 적어도 세 점이 존재한다

유클리드 평면의 확장으로서의 사영평면(real projective plane)

• 실사영평면(real projective plane)이라고도 한다
• 서로 평행한 모든 직선들의 집합을 선다발이라 하자.
• 각각의 선다발에 대응되는 서로 다른 무한원점을 유클리드 평면에 첨가하자. 따라서 각각의 평행선들은 무한원점에서 만나게 된다.
• 모든 무한원점들의 집합을 무한원선(line at infinity)이라 부르자.
• 유클리드 공간에 무한원점과 무한원선이 더해진 공간은 사영평면의 공리를 만족시킨다

위상수학에서의 실사영평면

[[Media:|Media:]]

파노평면

• 7개의 직선과 7개의 점으로 이루어진 유한사영평면
• 한 직선위에는 세 개의 점이 놓여 있으며, 각 점은 세 직선 위에 놓여 있다[[Media:|Media:]]
• 해밍코드
• http://en.wikipedia.org/wiki/Real_projective_plane
• http://en.wikipedia.org/wiki/Fano_plane

재미있는 사실

• http://mathoverflow.net/questions/45832/are-there-examples-of-non-orientable-manifolds-in-nature

메모

• http://web.science.mq.edu.au/~chris/geometry/
  • Chapter 1: The Real Projective Plane http://www.ics.mq.edu.au/~chris/geometry/chap01.pdf Chapter 2: Desargues’ Theorem http://www.ics.mq.edu.au/~chris/geometry/chap02.pdf Chapter 3: Pappus’ Theorem http://www.ics.mq.edu.au/~chris/geometry/chap03.pdf Chapter 4: Cross Ratio http://www.ics.mq.edu.au/~chris/geometry/chap04.pdf Chapter 5: Perspectivities and Projectivities http://www.ics.mq.edu.au/~chris/geometry/chap05.pdf

관련된 항목들

• 체커보드의 원근법
• 원근법과 수학
• 1점 원근법

수학용어번역

• • incidence matrix 접속행렬
  • 공선성 ?

리뷰, 에세이, 강의노트

• Robinson, P. L. “Projective Space: Lines and Duality.” arXiv:1506.06051 [math], June 14, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.06051.
• Stan Birchfield An Introduction to Projective Geometry (for computer vision)

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/사영공간
• http://en.wikipedia.org/wiki/Projective_plane
• http://en.wikipedia.org/wiki/Real_projective_plane

관련논문

• Xander Perrott, Existence of Projective Planes, http://arxiv.org/abs/1603.05333v1