"산술 기하 평균을 이용한 원주율의 계산"의 두 판 사이의 차이

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(피타고라스님이 이 페이지의 이름을 산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산로 바꾸었습니다.)
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<h5>간단한 소개</h5>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
  
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* AGM(arithmetic-geometric mean)을 활용하여 파이값을 빠르게 계산할 수 알고리즘
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* [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산]]
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<h5>개요</h5>
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* 산술기하평균함수(AGM, arithmetic-geometric mean)을 활용하여 파이값을 빠르게 계산할 수 알고리즘
  
 
 
 
 
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<h5>타원적분에 대한 르장드르 항등식</h5>
 
<h5>타원적분에 대한 르장드르 항등식</h5>
  
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For <math>\phi\!</math> and <math>\theta\!</math> such that <math>\phi+\theta={1 \over 2}\pi\!</math>
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* 르장드르 항등식
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: <math>K(\sin \phi) E(\sin \theta ) + K(\sin \theta ) E(\sin \phi) - K(\sin \phi) K(\sin \theta) = {1 \over 2}\pi\!</math>
 
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:* 다음과 같이 표현 가능
 
  
 
<math>E(k)K'(k)+E'(k)K(k)-K(k)K'(k)=\frac{\pi}{2}</math>
 
<math>E(k)K'(k)+E'(k)K(k)-K(k)K'(k)=\frac{\pi}{2}</math>
  
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특별히 다음과 같은 관계가 성립함
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* 특별히 다음과 같은 관계가 성립함
  
 
<math>2K(\frac{1}{\sqrt{2}})E(\frac{1}{\sqrt{2}})-K(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{\pi}{2}</math>
 
<math>2K(\frac{1}{\sqrt{2}})E(\frac{1}{\sqrt{2}})-K(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{\pi}{2}</math>
  
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* [[타원적분(통합됨)|타원적분]]
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* [[타원적분(통합됨)|타원적분]] 항목 참조
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[/pages/1939326/attachments/1341696 Salamin.jpg]
 
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(증명)
 
(증명)
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* 한번씩 계산할 때마다, 대략 두 배 정도 정확한 자리수
 
* 한번씩 계산할 때마다, 대략 두 배 정도 정확한 자리수
 
* 9번째까지 계산한다면, 1000자리 이상의 파이값을 계산
 
* 9번째까지 계산한다면, 1000자리 이상의 파이값을 계산
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*  매쓰매티카 노트<br>
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** [[1939326/attachments/1364978|Pi_and_AGM.nb]]
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2010년 1월 17일 (일) 14:03 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 산술기하평균함수(AGM, arithmetic-geometric mean)을 활용하여 파이값을 빠르게 계산할 수 알고리즘

 

 

타원적분

\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\)

 

\(E(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}d\theta}{\)

\(q=e^{2\pi i \tau}\)

\(\theta_{2}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty q^{(n+\frac{1}{2})^2/2}\)

\(\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}\)

\(\theta_{4}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{n^2/2}\)

\(k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\)

\(E(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}d\theta}{\)

\(k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(K'(k) = K(k')\)

\(E'(k) = E(k')\)

 

 

타원적분에 대한 르장드르 항등식
  • 르장드르 항등식

\(E(k)K'(k)+E'(k)K(k)-K(k)K'(k)=\frac{\pi}{2}\)

  • 특별히 다음과 같은 관계가 성립함

\(2K(\frac{1}{\sqrt{2}})E(\frac{1}{\sqrt{2}})-K(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{\pi}{2}\)

 

 

타원적분과 AGM의 관계

\(K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}\)

특별히, \(K(\frac{1}{\sqrt2})=\frac{\pi}{2M(1,\frac{1}{\sqrt2})}\)

 

한편, \(a_{n+1}={a_n+b_n \over 2}\),  \(b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}\) , \(a_0=1\), \(b_0=\sqrt{1-k^2}\) ,  \(c_n=\sqrt{a_n^2-b_n^2}\) 로 정의된 수열에 대하여, 타원적분은 다음과 같은 관계를 만족시킴.

 

\(\sum_{i=0}^{\infty} 2^{i-1} c_i^2 = 1 - \frac{E(k)}{K(k)}\)

 

 

가우스-살라민 알고리즘

[/pages/1939326/attachments/1341696 Salamin.jpg]

 

(증명)

\(2K(\frac{1}{\sqrt{2}})E(\frac{1}{\sqrt{2}})-K(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{\pi}{2}\)

\(K(\frac{1}{\sqrt2})=\frac{\pi}{2M(1,\frac{1}{\sqrt2})}\)

 

\(\sum_{i=0}^{\infty} 2^{i-1} c_i^2 = 1 - \frac{E(k)}{K(k)}\)

를 결합하여 증명가능.

 

 

 

 

또다른 알고리즘

\(x_0=\sqrt{2}\) ,\(\pi_0=2+\sqrt{2}}\), \(y_1=\sqrt[4]{2}\)
\(x_n=\frac{1}{2}(\sqrt{x_n}+\frac{1}{\sqrt{x_n}})}, n\geq0\) , \(y_n=\frac{y_{n+1}\sqrt{x_n}+\frac{1}{\sqrt{x_{n}}}}{y_n+1}}, n\geq1\) , \(\pi_n=\pi_{n-1}\frac{x_n+1}{y_n+1}}, n\geq1\)

 

  • 위에 정의된 수열 \(\pi_n\)은 파이로 수렴하게 된다. 다음은 다섯번째 항까지 계산한 결과.

\(\pi_1=3.1426067539416226007907198236183018919713562462772\)
\(\pi_2=3.1415926609660442304977522351203396906792842568645\)
\(\pi_3=3.1415926535897932386457739917571417940347896238675\)
\(\pi_4=3.1415926535897932384626433832795028841972241204666\)
\(\pi_5=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751\)

  • 한번씩 계산할 때마다, 대략 두 배 정도 정확한 자리수
  • 9번째까지 계산한다면, 1000자리 이상의 파이값을 계산

 

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

 

관련된 대학원 과목

 

 

관련된 다른 주제들

 

 

표준적인 도서 및 추천도서

 

 

위키링크

 

 

관련논문
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