산술 기하 평균을 이용한 원주율의 계산

간단한 소개

• 파이값을 빠르게 계산할 수 알고리즘
• lemniscate 적분 에서, 다음과 같은 사실을 알 수 있음

\(\frac{\pi }{\omega}=1.1981402347\cdots=AGM(1,\sqrt{2})\)

\(\frac{\omega}{2} = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-t^4}}\ dt = 1.31102877714605...\)

 

 

 

 

 

 

변형된 알고리즘

[/pages/1939326/attachments/1332480 piagm.JPG]

 

• 위에 정의된 수열 \(\pi_n\)은 파이로 수렴하게 된다. 다음은 다섯번째 항까지 계산한 결과.

\(\pi_1=3.1426067539416226007907198236183018919713562462772\)
\(\pi_2=3.1415926609660442304977522351203396906792842568645\)
\(\pi_3=3.1415926535897932386457739917571417940347896238675\)
\(\pi_4=3.1415926535897932384626433832795028841972241204666\)
\(\pi_5=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751\)

• 한번씩 계산할 때마다, 대략 두 배 정도 정확한 자리수
• 9번째까지 계산한다면, 1000자리 이상의 파이값을 계산
•  

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 일변수미적분학
• 해석개론
• 복소함수론

 

 

 

관련된 다른 주제들

• 타원적분, 타원함수, 타원곡선
  
  • 타원적분
  • lemniscate 적분

 

표준적인 도서 및 추천도서

• Pi and the AGM
  
  • Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein

 

 

위키링크

• http://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic-geometric_mean

 

참고할만한 자료

• Computation of pi Using Arithmetic-Geometric Mean (pdf)
  
  • E. Salamin
  • Mathematics of Computation 30(1976) 565-570
• The arithmetic-geometric mean of Gauss (pdf)
  
  • D.A. Cox
  • UEnseignement Math. 30 (1984) 275-330
• Gauss and the arithmetic-geometric mean
  
  • D.A. Cox
  • Notices Amer. Math. Soc. 32(2) (1985) 147-151

• Gauss, Landen, Ramanujan, the Arithmetic-Geometric Mean, Ellipses, π, and the Ladies Diary
  
  • Gert Almkvist and Bruce Berndt
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 7 (Aug. - Sep., 1988), pp. 585-608
• Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi or How to Compute One Billion Digits of Pi
  
  • J. M. Borwein, P. B. Borwein and D. H. Bailey
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 96, No. 3 (Mar., 1989), pp. 201-219
• Recent Calculations of π: The Gauss-Salamin Algorithm
  
  • Nick Lord
  • The Mathematical Gazette, Vol. 76, No. 476 (Jul., 1992), pp. 231-242
• The Ubiquitous π
  
  • Dario Castellanos
  • Mathematics Magazine, Vol. 61, No. 2 (Apr., 1988), pp. 67-98
• The Arithmetic-Geometric Mean and Fast Computation of Elementary Functions
  
  • J. M. Borwein and P. B. Borwein
  • SIAM Review, Vol. 26, No. 3 (Jul., 1984), pp. 351-366