산술 기하 평균을 이용한 원주율의 계산

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 3월 15일 (월) 12:33 판
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개요
  • 산술기하평균함수(AGM, arithmetic-geometric mean)을 활용하여 파이값을 빠르게 계산할 수 알고리즘

 

 

타원적분

\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\)

 

\(E(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}d\theta}{\)

\(q=e^{2\pi i \tau}\)

\(\theta_{2}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty q^{(n+\frac{1}{2})^2/2}\)

\(\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}\)

\(\theta_{4}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{n^2/2}\)

\(k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\)

\(E(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}d\theta}{\)

\(k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(K'(k) = K(k')\)

\(E'(k) = E(k')\)

 

 

타원적분에 대한 르장드르 항등식
  • 르장드르 항등식

\(E(k)K'(k)+E'(k)K(k)-K(k)K'(k)=\frac{\pi}{2}\)

  • 특별히 다음과 같은 관계가 성립함

\(2K(\frac{1}{\sqrt{2}})E(\frac{1}{\sqrt{2}})-K(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{\pi}{2}\)

 

 

타원적분과 AGM의 관계

\(K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}\)

특별히, \(K(\frac{1}{\sqrt2})=\frac{\pi}{2M(1,\frac{1}{\sqrt2})}\)

 

한편, \(a_{n+1}={a_n+b_n \over 2}\),  \(b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}\) , \(a_0=1\), \(b_0=\sqrt{1-k^2}\) ,  \(c_n=\sqrt{a_n^2-b_n^2}\) 로 정의된 수열에 대하여, 타원적분은 다음과 같은 관계를 만족시킴.

 

\(\sum_{i=0}^{\infty} 2^{i-1} c_i^2 = 1 - \frac{E(k)}{K(k)}\)

 

 

가우스-살라민 알고리즘

[/pages/1939326/attachments/1341696 Salamin.jpg]

\(a_0=1\), \(b_0=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(c_n=\sqrt{a_n^2-b_n^2}=\frac{c_{n-1}^2}{4a_n}\)

\(\pi_n=\frac{2a_{n+1}^2}{1-\sum_{k=0}^{n} 2^kc_k^2}\)

(증명)

\(2K(\frac{1}{\sqrt{2}})E(\frac{1}{\sqrt{2}})-K(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{\pi}{2}\)

\(K(\frac{1}{\sqrt2})=\frac{\pi}{2M(1,\frac{1}{\sqrt2})}\)

 

\(\sum_{i=0}^{\infty} 2^{i-1} c_i^2 = 1 - \frac{E(k)}{K(k)}\)

를 결합하여 증명가능.

 

 

또다른 알고리즘

\(x_0=\sqrt{2}\) ,\(\pi_0=2+\sqrt{2}}\), \(y_1=\sqrt[4]{2}\)
\(x_n=\frac{1}{2}(\sqrt{x_n}+\frac{1}{\sqrt{x_n}})}, n\geq0\) , \(y_n=\frac{y_{n+1}\sqrt{x_n}+\frac{1}{\sqrt{x_{n}}}}{y_n+1}}, n\geq1\) , \(\pi_n=\pi_{n-1}\frac{x_n+1}{y_n+1}}, n\geq1\)

 

  • 위에 정의된 수열 \(\pi_n\)은 파이로 수렴하게 된다. 다음은 다섯번째 항까지 계산한 결과.

\(\pi_1=3.1426067539416226007907198236183018919713562462772\)
\(\pi_2=3.1415926609660442304977522351203396906792842568645\)
\(\pi_3=3.1415926535897932386457739917571417940347896238675\)
\(\pi_4=3.1415926535897932384626433832795028841972241204666\)
\(\pi_5=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751\)

  • 한번씩 계산할 때마다, 대략 두 배 정도 정확한 자리수
  • 9번째까지 계산한다면, 1000자리 이상의 파이값을 계산

 

 

 

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