산술 기하 평균을 이용한 원주율의 계산

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2013년 3월 1일 (금) 14:04 판
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개요

  • 산술기하평균함수(AGM, arithmetic-geometric mean)을 활용하여 파이값을 빠르게 계산할 수 있는 알고리즘

 

 

타원적분

\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\)

\(E(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}d\theta\)

\(k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(K'(k) = K(k')\)

\(E'(k) = E(k')\)

 

 

타원적분에 대한 르장드르 항등식

  • 르장드르 항등식

\(E(k)K'(k)+E'(k)K(k)-K(k)K'(k)=\frac{\pi}{2}\)

  • 특별히 다음과 같은 관계가 성립함

\(2K(\frac{1}{\sqrt{2}})E(\frac{1}{\sqrt{2}})-K(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{\pi}{2}\)

 

 

산술기하평균함수

  • 양수 k가 주어졌을 때, 산술기하평균을 이용하여 다음과 같이 두 수열을 정의할 수 있다\[a_0=1\], \(b_0=\sqrt{1-k^2}\),  \(a_{n+1}={a_n+b_n \over 2}\),  \(b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}\)
  • 두 수열 \(a_n\)과 \(b_n\)은 같은 수로 수렴한다
  • 이 수렴값 \(M(k)\)를 이용하여 정의된 함수 M을 산술기하평균함수라 하자

 

 

렘니스케이트 곡선과 파이

 

 

타원적분과 AGM의 관계

\(K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}\)

특별히, \(K(\frac{1}{\sqrt2})=\frac{\pi}{2M(1,\frac{1}{\sqrt2})}\)

  • AGM 수열과 타원적분
     \(a_{n+1}={a_n+b_n \over 2}\),  \(b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}\) , \(a_0=1\), \(b_0=\sqrt{1-k^2}\) ,  \(c_n=\sqrt{a_n^2-b_n^2}\)

\(\sum_{i=0}^{\infty} 2^{i-1} c_i^2 = 1 - \frac{E(k)}{K(k)}\)

 

 

가우스-살라민 알고리즘

다음과 같이 수열 \(a_n,b_n,c_n,\pi_n\)을 정의하자.

\(a_0=1\), \(b_0=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(c_n=\sqrt{a_n^2-b_n^2}=\frac{c_{n-1}^2}{4a_n}\)

\(\pi_n=\frac{2a_{n+1}^2}{1-\sum_{k=0}^{n} 2^kc_k^2}\)

수열 \(\pi_n\)은 \(\pi\)로 수렴한다.

(증명)

\(M=M(1,1/\sqrt{2})\), \(K=K(1/\sqrt{2})\), \(E=E(1/\sqrt{2})\)로 두면,

\(2KE-K^2=\frac{\pi}{2}\) 즉, \(\frac{2E}{K}-1=\frac{\pi}{2K^2}\)

\(2MK=\pi\)

\(\sum_{i=0}^{\infty} 2^{i-1} c_i^2 = 1 - \frac{E}{K}\)이다.

따라서

\(\lim_{n\to \infty}\pi_n=\frac{2M^2}{1-2(1-E/K)}=\frac{2M^2}{{\pi}/{2K^2}}=\frac{\pi^2/2K^2}{{\pi}/{2K^2}}=\pi\)■

  • 수열 \(\pi_n\)의 처음 여섯항을 계산한 결과
    3.1405792505221682483113312689758233117734402375129
    3.1415926462135422821493444319826957743144372233456
    3.1415926535897932382795127748018639743812255048354
    3.1415926535897932384626433832795028841971146782836
    3.1415926535897932384626433832795028841971693993751
    3.1415926535897932384626433832795028841971693993751

 

 

또다른 알고리즘

\(x_0=\sqrt{2}\) ,\(\pi_0=2+\sqrt{2}\), \(y_1=\sqrt[4]{2}\) \[x_{n+1}=\frac{1}{2}(\sqrt{x_{n}}+\frac{1}{\sqrt{x_{n}}}), n\geq0\] , \[y_{n+1}=\frac{y_{n}\sqrt{x_n}+\frac{1}{\sqrt{x_{n}}}}{y_n+1}, n\geq1\] \[\pi_n=\pi_{n-1}\frac{x_n+1}{y_n+1}, n\geq1\]

  • 위에 정의된 수열 \(\pi_n\)은 파이로 수렴하게 된다. 다음은 처음 여섯개의 항을 계산한 결과.

3.1426067539416226007907198236183018919713562462772
3.1415926609660442304977522351203396906792842568645
3.1415926535897932386457739917571417940347896238675
3.1415926535897932384626433832795028841972241204666
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751

  • 한번씩 계산할 때마다, 대략 두 배 정도 정확한 자리수
  • 9번째까지 계산한다면, 1000자리 이상의 파이값을 계산

 

 

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