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| − | + | * 삼각함수의 덧셈공식은 복소지수함수 <math>f(x)=e^{ix}=\cos x+ i\sin x</math>의 성질 <math>e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}</math>과 같다:<math>e^{i\theta}e^{i\phi}=(\cos \theta+ i\sin \theta)(\cos \phi+i\sin \phi)=(\cos \theta \cos \phi - \sin \theta \sin \phi)+i(\sin \theta \cos \phi + \cos \theta \sin \phi )</math>:<math>e^{i(\theta+\phi)}=\cos (\theta+\phi)+i \sin (\theta+\phi)</math> 여기서 양변의 실수부와 허수부를 비교하면, 삼각함수의 덧셈공식을 얻는다 | |
| + | * 복소지수함수의 성질 <math>e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}</math> 은 단위원에 군의 구조를 준다 | ||
| + | * [[오일러의 공식]] 항목 참조 | ||
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| + | * <math>\theta_1</math>과 <math>\theta_2</math> 만큼 회전시키는 두 회전변환을 합성하면, <math>\theta_1+\theta_2</math> 만큼 회전시키는 또다른 회전변환을 하나 얻게 되는데, 이로부터 덧셈공식을 얻을 수 있다:<math>\begin{pmatrix}\cos \theta_1 & -\sin \theta_1 \\ \sin \theta_1 & \cos \theta_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos \theta_2 & -\sin \theta_2 \\ \sin \theta_2 & \cos \theta_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos (\theta_{1}+\theta_{2}) & -\sin (\theta_{1}+\theta_{2}) \\ \sin (\theta_{1}+\theta_{2}) & \cos (\theta_{1}+\theta_{2}) \end{pmatrix}</math> | ||
| + | * 회전변환이 군의 구조를 갖기 때문에 나타나는 성질이다 | ||
| + | * 단위원과 평면의 회전변환 군은 군론의 입장에서 같다 | ||
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| − | + | ==타원함수의 경우== | |
| − | + | * [[바이어슈트라스 타원함수 ℘|바이어슈트라스의 타원함수]] 는 [[타원곡선]] 을 매개화하며, 다양한 성질을 가진다 | |
| − | + | ==관련된 항목들== | |
| + | * [[고교생도 이해할 수 있는 군론 입문]] | ||
| + | * [[자코비 세타함수]] | ||
| + | * [[대수적 함수와 아벨적분]] | ||
| + | * [[삼각함수의 일반화]] | ||
| + | * [[공대수 (coalgebra)]] | ||
| + | * [[수학사 연표]] | ||
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| − | + | ==사전 형태의 자료== | |
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| − | + | [[분류:삼각함수]] | |
| − | * | + | ==메타데이터== |
| + | ===위키데이터=== | ||
| + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q273008 Q273008] | ||
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LOWER': 'list'}, {'LOWER': 'of'}, {'LOWER': 'trigonometric'}, {'LEMMA': 'identity'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 05:47 기준 최신판
개요
- 사인과 코사인은 단위원을 매개화하는 함수
\[\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\]
- 단위원은 군의 구조를 가짐. (군론(group theory))
\[e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}\]
- 삼각함수의 많은 공식들은 이 단위원이 가진 군의 구조를 통하여 이해할 수 있음
- 회전변환이 가진 군의 구조로 이해할 수도 있음
- 비슷한 예로 타원함수 또는 자코비 세타함수의 많은 공식들은 타원곡선이 가지는 군의 구조를 이용하여 이해할 수 있음
삼각함수 챕터는 외울 것이 많기로 악명이 높다. '얼싸탄코' 부터 시작하여 '신프신은 두신코, 신마신은 두코신, 코프코는 두코코, 코마코는 마두신신, 신코는 반신프신, 코신은 반신마신, 코코는 반코프코, 신신은 마반코마코' 와 같은 삼각함수와 관련된 공식의 암기를 돕기 위한 말들이 참고서에까지 소개되곤 한다. 미국에서도 사인, 코사인, 탄젠트의 정의를 외우기 위해 SOHCAHTOA(소-카-토아)라는 말을 사용한다. 수학 교과서에서 페이지 당 공식의 밀도를 따져본다면, 아마 삼각함수가 가장 높은 자리를 차지하고 있을 것이다. 삼각함수에는 왜 이렇게 공식이 많을까?
삼각함수의 이론에 공식이 많은 이유는 딱 떨어지는 답을 하기는 어렵지만 핵심적인 하나의 단어는 '대칭성' 이라는 것이다.
덧셈공식
- 삼각함수 항목 참조
\[\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \] \[\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\]
복소지수함수
- 삼각함수의 덧셈공식은 복소지수함수 \(f(x)=e^{ix}=\cos x+ i\sin x\)의 성질 \(e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}\)과 같다\[e^{i\theta}e^{i\phi}=(\cos \theta+ i\sin \theta)(\cos \phi+i\sin \phi)=(\cos \theta \cos \phi - \sin \theta \sin \phi)+i(\sin \theta \cos \phi + \cos \theta \sin \phi )\]\[e^{i(\theta+\phi)}=\cos (\theta+\phi)+i \sin (\theta+\phi)\] 여기서 양변의 실수부와 허수부를 비교하면, 삼각함수의 덧셈공식을 얻는다
- 복소지수함수의 성질 \(e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}\) 은 단위원에 군의 구조를 준다
- 오일러의 공식 항목 참조
회전변환을 통한 이해
- 2차원 회전 변환 에서 가져옴
- 평면에서 원점을 중심으로 각도 \(\theta \) 만큼의 회전변환은 다음 행렬로 표현된다\[\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\]
- \(\theta_1\)과 \(\theta_2\) 만큼 회전시키는 두 회전변환을 합성하면, \(\theta_1+\theta_2\) 만큼 회전시키는 또다른 회전변환을 하나 얻게 되는데, 이로부터 덧셈공식을 얻을 수 있다\[\begin{pmatrix}\cos \theta_1 & -\sin \theta_1 \\ \sin \theta_1 & \cos \theta_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos \theta_2 & -\sin \theta_2 \\ \sin \theta_2 & \cos \theta_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos (\theta_{1}+\theta_{2}) & -\sin (\theta_{1}+\theta_{2}) \\ \sin (\theta_{1}+\theta_{2}) & \cos (\theta_{1}+\theta_{2}) \end{pmatrix}\]
- 회전변환이 군의 구조를 갖기 때문에 나타나는 성질이다
- 단위원과 평면의 회전변환 군은 군론의 입장에서 같다
타원함수의 경우
- 바이어슈트라스의 타원함수 는 타원곡선 을 매개화하며, 다양한 성질을 가진다
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities
- http://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix
메타데이터
위키데이터
- ID : Q273008
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'list'}, {'LOWER': 'of'}, {'LOWER': 'trigonometric'}, {'LEMMA': 'identity'}]