삼각함수에는 왜 공식이 많은가?

삼각함수 항목 참조
\(\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\)
\(\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\\)

복소지수함수 \(f(x)=e^{ix}=\cos x+ i\sin x\) ([[오일러의 공식 e^{iπ}+1=0]] 항목 참조) 는 다음을 만족시킨다
\(e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}\)
\(f(x)f(y)=(\cos x+ i\sin x)(\cos y+i\sin y)=\cos (x+y)+i \sin (x+y)=f(x+y)\)\(f(\theta)f(\phi)=(\cos \theta+ i\sin \theta)(\cos \phi+i\sin \phi)=\cos (\theta+\phi)+i \sin (\theta+\phi)=f(\theta+\phi)\)

평면에서 원점을 중심으로 각도 \(\theta \) 만큼의 회전변환은 다음 행렬로 표현된다
\(\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\)
\(\theta_1\)과 \(\theta_2\) 만큼 회전시키는 두 회전변환을 합성하면, \(\theta_1+\theta_2\) 만큼 회전시키는 또다른 회전변환을 하나 얻게 되는데, 이로부터 덧셈공식을 얻을 수 있다
\(\begin{pmatrix}\cos \theta_1 & -\sin \theta_1 \\ \sin \theta_1 & \cos \theta_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos \theta_2 & -\sin \theta_2 \\ \sin \theta_2 & \cos \theta_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos (\theta_{1}+\theta_{2}) & -\sin (\theta_{1}+\theta_{2}) \\ \sin (\theta_{1}+\theta_{2}) & \cos (\theta_{1}+\theta_{2}) \end{pmatrix}\)
회전변환이 군의 구조를 갖기 때문에 나타나는 성질이다

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