삼각함수의 무한곱 표현

개요

• 사인함수의 무한곱표현

\[\frac{ \sin{x}}{x} = \left(1-\frac{x^2}{\pi ^2}\right) \left(1-\frac{x^2}{4 \pi ^2}\right) \left(1-\frac{x^2}{9 \pi ^2}\right) \cdots =\prod _{n=1}^{\infty } \left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)\] 또는 \[\sin{\pi x} = \pi x \prod _{n=1}^{\infty } \left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)\label{sinpro}\]

• Sinc 함수

응용

• 감마함수 의 다음 공식을 보이는데 응용할 수 있다

\[\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!\]

• \ref{sinpro}가 $x=1/2$일 때, 월리스 곱 (Wallis product formula)을 얻는다

$$\prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2-1}{4k^2}=\frac{2}{\pi}$$

 

사인의 무한곱

\(\sin{\pi z} = \pi z \prod _{n\neq 0}^{} \left(1-\frac{z}{n}\right)e^{z/n}\)

 

 

역사

• 1742년 오일러
• 수학사 연표

 

 

메모

• http://www.ams.org/bookstore/pspdf/gsm-97-prev.pdf
• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

관련된 항목들

• 로그 사인 적분 (log sine integrals)
• 감마함수

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities#Infinite_product_formulae

 

 

 

 

관련논문

• Euler, De summis serierum reciprocarum ex potestatibus numerorum naturalium ortarum dissertatio altera, in qua eaedem summationes ex fonte maxime diverso derivantur Miscellanea Berolinensia 7, 1743, pp. 172-192