"삼각함수의 적분"의 두 판 사이의 차이
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| − | <math>\int\sin^n {x}\;dx = -\frac{\sin^{n-1} x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} x\;dx \qquad\mbox{(for }n>2\mbox{)}\,\!</math> | + | * 사인과 코사인의 거듭제곱<br><math>\int\sin^n {x}\;dx = -\frac{\sin^{n-1} x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} x\;dx \qquad\mbox{(for }n>2\mbox{)}\,\!</math><br><math>\int\cos^n x\;dx = \frac{\cos^{n-1} x\sin x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2} x\;dx \qquad\mbox{(for }n>2\mbox{)}\,\!</math><br> |
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<math>\int \sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx=\int (\sin^{n-2}{x}\cos x)\cos x \,dx=\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x+\int \frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x \sin x dx=\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x+\frac{1}{n-1}\int \sin^{n}x \,dx</math> | <math>\int \sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx=\int (\sin^{n-2}{x}\cos x)\cos x \,dx=\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x+\int \frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x \sin x dx=\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x+\frac{1}{n-1}\int \sin^{n}x \,dx</math> | ||
| − | 치환적분 <math>u=\cos x</math>, <math>dv=\sin^{n-2}x\cos x \dx</math> | + | 여기서 치환적분 <math>u=\cos x</math>, <math>dv=\sin^{n-2}x\cos x \dx</math> |
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| − | <math>\int\sin^n {x}\;dx = -\frac{\sin^{n-1} x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} x\;dx</math> | + | <math>\int\sin^n {x}\;dx = -\frac{\sin^{n-1} x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} x\;dx</math> ■ |
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| + | * 정적분의 결과는 [[오일러 베타적분(베타함수)]] 로 표현할 수 있다<br> | ||
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2012년 8월 25일 (토) 15:36 판
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개요
사인과 코사인의 거듭제곱
- 사인과 코사인의 거듭제곱
\(\int\sin^n {x}\;dx = -\frac{\sin^{n-1} x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} x\;dx \qquad\mbox{(for }n>2\mbox{)}\,\!\)
\(\int\cos^n x\;dx = \frac{\cos^{n-1} x\sin x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2} x\;dx \qquad\mbox{(for }n>2\mbox{)}\,\!\)
(증명)
\(\int\sin^n {x}\,dx = \int\sin^{n-2}{x} (1-\cos^2 x)\,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\int \sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx\)
\(\int \sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx=\int (\sin^{n-2}{x}\cos x)\cos x \,dx=\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x+\int \frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x \sin x dx=\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x+\frac{1}{n-1}\int \sin^{n}x \,dx\)
여기서 치환적분 \(u=\cos x\), \(dv=\sin^{n-2}x\cos x \dx\)
\(\int\sin^n {x}\,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\int \sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x-\frac{1}{n-1}\int \sin^{n}x \,dx\)
\(\frac{n}{n-1}\int \sin^{n}x \,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x\)
\(\int\sin^n {x}\;dx = -\frac{\sin^{n-1} x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} x\;dx\) ■
- 이 결과들은 월리스 곱 (Wallis product formula) 에 응용할 수 있다
- 정적분의 결과는 오일러 베타적분(베타함수) 로 표현할 수 있다
탄젠트와 시컨트의 거듭제곱
\(\begin{align} \int \sec^3 x \, dx &{}= \int u\,dv \\ &{}= uv - \int v\,du \\ &{} = \sec x \tan x - \int \sec x \tan^2 x\,dx \\ &{}= \sec x \tan x - \int \sec x\, (\sec^2 x - 1)\,dx \\ &{}= \sec x \tan x - \left(\int \sec^3 x \, dx - \int \sec x\,dx.\right) \\ &{}= \sec x \tan x - \int \sec^3 x \, dx + \int \sec x\,dx. \end{align}\)
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