"삼각함수의 적분"의 두 판 사이의 차이
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<math>\int \sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx=\int (\sin^{n-2}{x}\cos x)\cos x \,dx=\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x+\int \frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x \sin x dx=\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x+\frac{1}{n-1}\int \sin^{n}x \,dx</math> | <math>\int \sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx=\int (\sin^{n-2}{x}\cos x)\cos x \,dx=\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x+\int \frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x \sin x dx=\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x+\frac{1}{n-1}\int \sin^{n}x \,dx</math> | ||
| − | 치환적분 <math>u=\cos x</math>, <math>dv=\sin^{n-2}x\cos x \dx</math> | + | 여기서 치환적분 <math>u=\cos x</math>, <math>dv=\sin^{n-2}x\cos x \,dx</math> |
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<math>\frac{n}{n-1}\int \sin^{n}x \,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x</math> | <math>\frac{n}{n-1}\int \sin^{n}x \,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x</math> | ||
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| − | + | * 이 결과들은 [[월리스 곱 (Wallis product formula)]] 에 응용할 수 있다 | |
| + | * 정적분의 결과는 [[오일러 베타적분(베타함수)]] 로 표현할 수 있다 | ||
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<math>\begin{align} \int \sec^3 x \, dx &{}= \int u\,dv \\ &{}= uv - \int v\,du \\ &{} = \sec x \tan x - \int \sec x \tan^2 x\,dx \\ &{}= \sec x \tan x - \int \sec x\, (\sec^2 x - 1)\,dx \\ &{}= \sec x \tan x - \left(\int \sec^3 x \, dx - \int \sec x\,dx.\right) \\ &{}= \sec x \tan x - \int \sec^3 x \, dx + \int \sec x\,dx. \end{align}</math> | <math>\begin{align} \int \sec^3 x \, dx &{}= \int u\,dv \\ &{}= uv - \int v\,du \\ &{} = \sec x \tan x - \int \sec x \tan^2 x\,dx \\ &{}= \sec x \tan x - \int \sec x\, (\sec^2 x - 1)\,dx \\ &{}= \sec x \tan x - \left(\int \sec^3 x \, dx - \int \sec x\,dx.\right) \\ &{}= \sec x \tan x - \int \sec^3 x \, dx + \int \sec x\,dx. \end{align}</math> | ||
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| − | + | ==관련된 항목들== | |
| − | + | * [[부분적분]] | |
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| − | + | ==리뷰, 에세이, 강의노트== | |
| + | * Katugampola, Udita N. “Geometric Approach to the Integral <math>\int \sec X\,dx</math>.” arXiv:1511.01006 [math], November 1, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.01006. | ||
| − | + | [[분류:삼각함수]] | |
| − | + | ==메타데이터== | |
| − | + | ===위키데이터=== | |
| − | * | + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q987236 Q987236] |
| − | + | ===Spacy 패턴 목록=== | |
| − | * [ | + | * [{'LOWER': 'integral'}, {'LOWER': 'of'}, {'LOWER': 'secant'}, {'LEMMA': 'cube'}] |
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2021년 2월 17일 (수) 05:47 기준 최신판
개요
사인과 코사인의 거듭제곱
- 사인과 코사인의 거듭제곱\[\int\sin^n {x}\;dx = -\frac{\sin^{n-1} x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} x\;dx \qquad\mbox{(for }n>2\mbox{)}\,\!\]\[\int\cos^n x\;dx = \frac{\cos^{n-1} x\sin x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2} x\;dx \qquad\mbox{(for }n>2\mbox{)}\,\!\]
- (증명)
\(\int\sin^n {x}\,dx = \int\sin^{n-2}{x} (1-\cos^2 x)\,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\int \sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx\)
\(\int \sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx=\int (\sin^{n-2}{x}\cos x)\cos x \,dx=\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x+\int \frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x \sin x dx=\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x+\frac{1}{n-1}\int \sin^{n}x \,dx\)
여기서 치환적분 \(u=\cos x\), \(dv=\sin^{n-2}x\cos x \,dx\)
\(\int\sin^n {x}\,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\int \sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x-\frac{1}{n-1}\int \sin^{n}x \,dx\)
\(\frac{n}{n-1}\int \sin^{n}x \,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x\)
\(\int\sin^n {x}\;dx = -\frac{\sin^{n-1} x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} x\;dx\) ■
- 이 결과들은 월리스 곱 (Wallis product formula) 에 응용할 수 있다
- 정적분의 결과는 오일러 베타적분(베타함수) 로 표현할 수 있다
탄젠트와 시컨트의 거듭제곱
\(\begin{align} \int \sec^3 x \, dx &{}= \int u\,dv \\ &{}= uv - \int v\,du \\ &{} = \sec x \tan x - \int \sec x \tan^2 x\,dx \\ &{}= \sec x \tan x - \int \sec x\, (\sec^2 x - 1)\,dx \\ &{}= \sec x \tan x - \left(\int \sec^3 x \, dx - \int \sec x\,dx.\right) \\ &{}= \sec x \tan x - \int \sec^3 x \, dx + \int \sec x\,dx. \end{align}\)
관련된 항목들
리뷰, 에세이, 강의노트
- Katugampola, Udita N. “Geometric Approach to the Integral \(\int \sec X\,dx\).” arXiv:1511.01006 [math], November 1, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.01006.
메타데이터
위키데이터
- ID : Q987236
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'integral'}, {'LOWER': 'of'}, {'LOWER': 'secant'}, {'LEMMA': 'cube'}]