상수곡률곡면과 사인-고든 방정식
개요
사인-고든 방정식
- 곡면의 제1기본형식이 다음과 같이 주어지는 경우
\[E=1, F=\cos (\phi (x,t)),G=1\]
- 가우스 곡률 이 \(K=-1\)이 되도록 하는, 함수 \(\phi (x,t)\) 를 찾는 문제
- 함수 \(\phi (x,t)\) 가 사인-고든 방정식 을 만족시키는 경우, 상수곡률곡면을 얻는다
크리스토펠 기호
\(\begin{array}{ll} \Gamma _{11}^1 & \phi ^{(1,0)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \\ \Gamma _{12}^1 & 0 \\ \Gamma _{21}^1 & 0 \\ \Gamma _{22}^1 & \phi ^{(0,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \\ \Gamma _{11}^2 & \phi ^{(1,0)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \\ \Gamma _{12}^2 & 0 \\ \Gamma _{21}^2 & 0 \\ \Gamma _{22}^2 & \phi ^{(0,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \end{array}\)
리만 텐서
\(\begin{array}{ll} \begin{array}{ll} R_{111}^1 & 0 \\ R_{112}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\cot (\phi (x,t))) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \\ R_{122}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^1 & 0 \\ R_{212}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \csc (\phi (x,t)) \\ R_{222}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{111}^2 & 0 \\ R_{112}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \csc (\phi (x,t)) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \\ R_{122}^2 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^2 & 0 \\ R_{212}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\cot (\phi (x,t))) \\ R_{222}^2 & 0 \end{array} \end{array}\)
가우스 곡률
- \(K=-\frac{\phi ^{(1,1)}(x,t)}{ (-\sin (\phi (x,t)))}\)
- \(K=-1\) 이 되려면, \(\phi ^{(1,1)}(x,t)=\sin (\phi (x,t))\) 을 만족시키면 된다
- 미분방정식 \(\phi ^{(1,1)}(x,t)=\sin (\phi (x,t))\) 은 빛원뿔(light cone) 좌표계에서의 사인-고든 방정식 이 된다
예
역사
메모
- http://www.math.uci.edu/~cterng/SGE.html
- 솔리톤 사인-고든 http://www.math.uci.edu/~cterng/geometry_of_solitons.pdf
- Nesterenko, V. V. 1980. “On the geometric origin of the equation ?,11 ? ?,22 = e? ? e-2?” Letters in Mathematical Physics 4 (6) (November): 451-456. doi:10.1007/BF00943430.
- É. G. Poznyak and E. V. Shikin, Surfaces of negative curvature Journal of Mathematical Sciences Volume 5, Number 6 (1976), 865-887
- http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/459/2029/67.full.pdf
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
리뷰, 에세이, 강의노트
- Burstall, Francis. “Notes on Transformations in Integrable Geometry.” arXiv:1511.04216 [math], November 13, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.04216.
- Robert McLachlan, A gallery of constant-negative-curvature surfaces The Mathematical Intelligencer, 1994, Volume 16, Number 4, Pages 31-37
관련도서
관련논문
- Shimpei Kobayashi, A construction method for discrete constant negative Gaussian curvature surfaces, arXiv:1604.02772 [math.DG], April 11 2016, http://arxiv.org/abs/1604.02772