생성함수

개요

• 생성함수(generating function)
• 수열\(\{a_n\}\)에 대한 정보를 담는 멱급수
• 다양한 종류의 생성함수가 있으며 수열의 성질에 따라 적합한 종류의 생성함수를 이용한다
• 해석적정수론의 중요한 아이디어
• 수열이라는 이산적인 대상을, 미적분학이라는 연속적인 개념을 이용하는 도구를 통해 다룰수 있게 해줌.
• L-함수, 제타함수와 디리클레 급수로 생성함수의 일종으로 이해할 수 있음
• 확률론에서 확률변수를 다루는데 유용한 도구

생성함수

• 수열 \(\{a_n\}\)이 주어진 경우, 다음과 같은 멱급수함수를 하나 만든다. (유한수열인 경우에는 다항식)

\[G(x)= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots\]

• 분할수의 생성함수(오일러 함수)\[\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} \]
• 분할수를 데데킨트 에타함수의 성질을 통하여 이해할 수 있게 된다

지수생성함수

• 수열 \(\{a_n\}\)이 주어진 경우, 다음과 같은 멱급수함수를 지수생성함수라 한다

\[EG(x)=\sum _{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n!}x^n\]

• 베르누이 수의 생성함수\[\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!}t^n=\frac{t e^{t}}{e^t-1}\]
• derangement의 생성함수\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{D_n}{n!}x^n=\frac{e^{-x}}{1-x}\]

디리클레급수

• 복소수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 디리클레 급수를 다음과 같이 정의\[L(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}\]
• L-함수, 제타함수와 디리클레 급수 항목 참조

자코비 세타함수의 경우

• 자코비 세타함수\[\theta(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}\]
• 주어진 자연수를 여러 제곱의 합으로 표현하는 방법에 유용하게 사용된다
• 가령 자코비의 네 제곱수 정리의 경우\[\theta^4(x)=(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n\]

확률론과 생성함수

• probability generating function
• moment generating function
• characteristic function

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 수열 (고등학교)
• 일변수미적분학
  • 멱급수함수
• 이산수학
  • difference equation

관련된 항목들

• 푸리에 변환
• 라플라스 변환
• 분할수
• 피보나치 수열의 여러가지 성질

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function

관련도서

• Lectures on Generating Functions (Student Mathematical Library, V. 23)
  • Sergei K. Lando
• generatingfunctionology
  • Herbert S. Wilf,
  • PDF 파일 다운받기 : http://www.math.upenn.edu/~wilf/DownldGF.html

관련논문과 에세이

• An Interesting Use of Generating Functions
  • Aron Pinker, The Two-Year College Mathematics Journal, Vol. 6, No. 4 (Dec., 1975), pp. 39-45

블로그

• 고교 수학의 명장면 (2)
  • 피타고라스의 창, 2008-9-30
• derangement : 목욕탕에서 서로 등을 밀어주는 경우의 수와 자연상수
  • 피타고라스의 창, 2008-7-26