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** 선형사상을 구체적으로 표현하기 위한 언어 | ** 선형사상을 구체적으로 표현하기 위한 언어 | ||
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** row reduction 을 통한 해 구하기 | ** row reduction 을 통한 해 구하기 | ||
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** LU 분해, LDU 분해, PLU 분해. … | ** LU 분해, LDU 분해, PLU 분해. … | ||
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** 열공간, 행공간, 영공간(null space), 전치행렬의 영공간 | ** 열공간, 행공간, 영공간(null space), 전치행렬의 영공간 | ||
* Dimension 정리 | * Dimension 정리 | ||
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* 고유값, 고유벡터, 대각화 | * 고유값, 고유벡터, 대각화 | ||
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** Principal Ideal Domain의 module theory의 관점에서 바라볼 수 있음. | ** Principal Ideal Domain의 module theory의 관점에서 바라볼 수 있음. | ||
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** 거리와 각도를 잴 수 있는 벡터공간 | ** 거리와 각도를 잴 수 있는 벡터공간 | ||
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* 대학과정에서 요구되는 선수 과목은 없음. | * 대학과정에서 요구되는 선수 과목은 없음. | ||
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** 해석학에서 유용한 개념인 힐버트 공간은 선형대수학의 내적공간의 개념을 요청함. | ** 해석학에서 유용한 개념인 힐버트 공간은 선형대수학의 내적공간의 개념을 요청함. | ||
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** 양자역학은 힐버트 공간의 벡터와 그에 작용하는 Hermitian operator의 언어로 기술됨. | ** 양자역학은 힐버트 공간의 벡터와 그에 작용하는 Hermitian operator의 언어로 기술됨. | ||
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==관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들== | ==관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들== | ||
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** 선형대수를 처음 배울 때는, 보통 스칼라로 사용하는 체를 실수 혹은 복소수로 생각하게 됨. | ** 선형대수를 처음 배울 때는, 보통 스칼라로 사용하는 체를 실수 혹은 복소수로 생각하게 됨. | ||
** 코딩이론은 유한체 위에서 행해지는 선형대수학 | ** 코딩이론은 유한체 위에서 행해지는 선형대수학 | ||
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* 리대수와 표현론 | * 리대수와 표현론 | ||
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** 대한수학회 뉴스레터 V. 55, pp. 20-27 (1997 9월) S.G. Lee and O.K. Kang | ** 대한수학회 뉴스레터 V. 55, pp. 20-27 (1997 9월) S.G. Lee and O.K. Kang | ||
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==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
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==관련논문== | ==관련논문== | ||
| − | * [http://www.jstor.org/stable/2686426 The Growing Importance of Linear Algebra in Undergraduate Mathematics] | + | * [http://www.jstor.org/stable/2686426 The Growing Importance of Linear Algebra in Undergraduate Mathematics] |
** Alan Tucker, <cite>The College Mathematics Journal</cite>, Vol. 24, No. 1 (Jan., 1993), pp. 3-9 | ** Alan Tucker, <cite>The College Mathematics Journal</cite>, Vol. 24, No. 1 (Jan., 1993), pp. 3-9 | ||
| − | * [http://www.jstor.org/stable/2320145 Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra] | + | * [http://www.jstor.org/stable/2320145 Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra] |
** Desmond Fearnley-Sander, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 86, No. 10 (Dec., 1979), pp. 809-817 | ** Desmond Fearnley-Sander, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 86, No. 10 (Dec., 1979), pp. 809-817 | ||
| − | * [http://www.jstor.org/stable/2686430 The Linear Algebra Curriculum Study Group Recommendations for the First Course in Linear Algebra] | + | * [http://www.jstor.org/stable/2686430 The Linear Algebra Curriculum Study Group Recommendations for the First Course in Linear Algebra] |
** David Carlson, Charles R. Johnson, David C. Lay and A. Duane Porter, <cite>The College Mathematics Journal</cite>, Vol. 24, No. 1 (Jan., 1993), pp. 41-46 | ** David Carlson, Charles R. Johnson, David C. Lay and A. Duane Porter, <cite>The College Mathematics Journal</cite>, Vol. 24, No. 1 (Jan., 1993), pp. 41-46 | ||
| − | * [http://www.jstor.org/stable/3026998 Linear Algebra, a Potent Tool] | + | * [http://www.jstor.org/stable/3026998 Linear Algebra, a Potent Tool] |
** Anneli Lax, <cite>The Two-Year College Mathematics Journal</cite>, Vol. 7, No. 2 (May, 1976), pp. 3-15 | ** Anneli Lax, <cite>The Two-Year College Mathematics Journal</cite>, Vol. 7, No. 2 (May, 1976), pp. 3-15 | ||
| − | * [http://www.jstor.org/stable/3620391 A Gemstone in Matrix Algebra] | + | * [http://www.jstor.org/stable/3620391 A Gemstone in Matrix Algebra] |
** Tony Crill, <cite>The Mathematical Gazette</cite>, Vol. 76, No. 475, The Use of the History of Mathematics in the Teaching of Mathematics (Mar., 1992), pp. 182-188 | ** Tony Crill, <cite>The Mathematical Gazette</cite>, Vol. 76, No. 475, The Use of the History of Mathematics in the Teaching of Mathematics (Mar., 1992), pp. 182-188 | ||
| − | * [http://www.jstor.org/stable/2322413 Gauss-Jordan Reduction: A Brief History] | + | * [http://www.jstor.org/stable/2322413 Gauss-Jordan Reduction: A Brief History] |
** Steven C. Althoen and Renate McLaughlin, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 94, No. 2 (Feb., 1987), pp. 130-142 | ** Steven C. Althoen and Renate McLaughlin, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 94, No. 2 (Feb., 1987), pp. 130-142 | ||
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2013년 5월 31일 (금) 08:55 판
개요
- 고등학교에서 배우는 3차원 공간벡터의 성질들을 추상화하여, 일반적인 벡터공간을 정의하고, 그 공간들 사이의 함수가 되는 선형사상 및 행렬을 공부함.
- 선형사상과 행렬의 대비 및 둘 사이의 긴장감을 공부함.
- 수학에서 많이 사용되는 언어를 익히는 부분과, 일차방정식의 해, 정방행렬의 분류와 같은 선형대수학 자체의 문제로 볼 수 있는 부분이 섞여 있음.
다루는 대상
- 벡터, 벡터공간, 행렬, 선형사상
중요한 개념 및 정리
- 벡터공간
- 스칼라와 벡터
- 선형대수학 = 체의 모듈 이론
- 선형사상
- 행렬
- 선형사상을 구체적으로 표현하기 위한 언어
- 연립방정식 풀기
- row reduction 을 통한 해 구하기
- 역행렬을 통한 해 구하기
- LU 분해, LDU 분해, PLU 분해. …
- Fundamental spaces of a matrix
- 열공간, 행공간, 영공간(null space), 전치행렬의 영공간
- Dimension 정리
- 행렬식
- 고유값, 고유벡터, 대각화
- 선형 사상의 분해 또는 Jordan canonical form 에 따른 n x n 행렬의 분류
- 대각화의 일반화
- Principal Ideal Domain의 module theory의 관점에서 바라볼 수 있음.
- 내적공간
- 거리와 각도를 잴 수 있는 벡터공간
- 특성 다항식
유명한 정리 혹은 재미있는 문제
- 케일리-해밀턴 정리
선수 과목
- 대학과정에서 요구되는 선수 과목은 없음.
- 고교 수학의 행렬, 일차변환에의 익숙함은 도움이 됨.
다른 과목과의 관련성
- 다변수미적분학
- 상미분방정식
- 해석학
- 내적공간의 개념은 해석학 과목에서 푸리에 시리즈를 공부할 때 필요함.
- 해석학에서 유용한 개념인 힐버트 공간은 선형대수학의 내적공간의 개념을 요청함.
- 양자역학
- 양자역학은 힐버트 공간의 벡터와 그에 작용하는 Hermitian operator의 언어로 기술됨.
관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들
- Multilinear algebra
- 코딩이론
- 선형대수를 처음 배울 때는, 보통 스칼라로 사용하는 체를 실수 혹은 복소수로 생각하게 됨.
- 코딩이론은 유한체 위에서 행해지는 선형대수학
- 이차형식
- 내적공간의 일반화로서, 좀더 일반적인 symmetric bilinear form 이 주어져 있는 벡터공간, 즉 quadratic space 에 대한 공부는 이차형식의 영역으로 안내.
- 유한군의 표현론
- 리대수와 표현론
메모
- principal axis theorem
- 행렬 이론의 과거와 현재
- 대한수학회 뉴스레터 V. 55, pp. 20-27 (1997 9월) S.G. Lee and O.K. Kang
관련된 항목들
관련논문
- The Growing Importance of Linear Algebra in Undergraduate Mathematics
- Alan Tucker, The College Mathematics Journal, Vol. 24, No. 1 (Jan., 1993), pp. 3-9
- Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra
- Desmond Fearnley-Sander, The American Mathematical Monthly, Vol. 86, No. 10 (Dec., 1979), pp. 809-817
- The Linear Algebra Curriculum Study Group Recommendations for the First Course in Linear Algebra
- David Carlson, Charles R. Johnson, David C. Lay and A. Duane Porter, The College Mathematics Journal, Vol. 24, No. 1 (Jan., 1993), pp. 41-46
- Linear Algebra, a Potent Tool
- Anneli Lax, The Two-Year College Mathematics Journal, Vol. 7, No. 2 (May, 1976), pp. 3-15
- A Gemstone in Matrix Algebra
- Tony Crill, The Mathematical Gazette, Vol. 76, No. 475, The Use of the History of Mathematics in the Teaching of Mathematics (Mar., 1992), pp. 182-188
- Gauss-Jordan Reduction: A Brief History
- Steven C. Althoen and Renate McLaughlin, The American Mathematical Monthly, Vol. 94, No. 2 (Feb., 1987), pp. 130-142