"선형대수학"의 두 판 사이의 차이

수학노트
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<h5>간단요약</h5>
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<h5>개요</h5>
  
 
* 고등학교에서 배우는 3차원 공간벡터의 성질들을 추상화하여, 일반적인 벡터공간을 정의하고, 그 공간들 사이의 함수가 되는 선형사상 및 행렬을 공부함.
 
* 고등학교에서 배우는 3차원 공간벡터의 성질들을 추상화하여, 일반적인 벡터공간을 정의하고, 그 공간들 사이의 함수가 되는 선형사상 및 행렬을 공부함.
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** 선형사상을 구체적으로 표현하기 위한 언어
 
** 선형사상을 구체적으로 표현하기 위한 언어
 
*  연립방정식 풀기<br>
 
*  연립방정식 풀기<br>
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** row reduction 을 통
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** row reduction 을 통한 해 구하기
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** 역행렬을 통한 해 구하기
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** LU 분해, LDU 분해, PLU 분해. …
 
*  Fundamental spaces of a matrix<br>
 
*  Fundamental spaces of a matrix<br>
 
** 열공간, 행공간, 영공간(null space), 전치행렬의 영공간
 
** 열공간, 행공간, 영공간(null space), 전치행렬의 영공간

2009년 12월 23일 (수) 15:48 판

개요
  • 고등학교에서 배우는 3차원 공간벡터의 성질들을 추상화하여, 일반적인 벡터공간을 정의하고, 그 공간들 사이의 함수가 되는 선형사상 및 행렬을 공부함.
  • 선형사상과 행렬의 대비 및 둘 사이의 긴장감을 공부함.
  • 수학에서 많이 사용되는 언어를 익히는 부분과, 일차방정식의 해, 정방행렬의 분류와 같은 선형대수학 자체의 문제로 볼 수 있는 부분이 섞여 있음.
     
다루는 대상
  • 벡터, 벡터공간, 행렬, 선형사상

 

중요한 개념 및 정리
  • 벡터공간
    • 스칼라와 벡터
    • 선형대수학 = 체의 모듈 이론
  • 선형사상
  • 행렬 
    • 선형사상을 구체적으로 표현하기 위한 언어
  • 연립방정식 풀기
    • row reduction 을 통한 해 구하기
    • 역행렬을 통한 해 구하기
    • LU 분해, LDU 분해, PLU 분해. …
  • Fundamental spaces of a matrix
    • 열공간, 행공간, 영공간(null space), 전치행렬의 영공간
  • Dimension 정리
  • 행렬식
  • 고유값, 고유벡터, 대각화
  • 선형 사상의 분해 또는 Jordan canonical form 에 따른 n x n 행렬의 분류
    • 대각화의 일반화
    • Principal Ideal Domain의 module theory의 관점에서 바라볼 수 있음.
  • 내적공간
    • 거리와 각도를 잴 수 있는 벡터공간

 

\(\mathbf{X}=\left(\begin{array}{ccc}x_{11} & x_{12} & \ldots \\x_{21} & x_{22} & \ldots \\\vdots & \vdots & \ddots\end{array} \right)\)

\(\Large A\ =\ \large\left( \begin{array}{c.cccc}&1&2&\cdots&n\\ \hdash1&a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ 2&a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ n&a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right)\)

 

\(\normalsize \left(\large\begin{array}{GC+23} \varepsilon_x\\\varepsilon_y\\\varepsilon_z\\\gamma_{xy}\\ \gamma_{xz}\\\gamma_{yz}\end{array}\right)\ {\Large=} \ \left[\begin{array}{CC} \begin{array}\frac1{E_{\fs{+1}x}} &-\frac{\nu_{xy}}{E_{\fs{+1}x}} &-\frac{\nu_{\fs{+1}xz}}{E_{\fs{+1}x}}\\ -\frac{\nu_{yx}}{E_y}&\frac1{E_{y}}&-\frac{\nu_{yz}}{E_y}\\ -\frac{\nu_{\fs{+1}zx}}{E_{\fs{+1}z}}& -\frac{\nu_{zy}}{E_{\fs{+1}z}} &\frac1{E_{\fs{+1}z}}\end{array} & {\LARGE 0} \\ {\LARGE 0} & \begin{array}\frac1{G_{xy}}&&\\ &\frac1{G_{\fs{+1}xz}}&\\&&\frac1{G_{yz}}\end{array} \end{array}\right] \ \left(\large\begin{array} \sigma_x\\\sigma_y\\\sigma_z\\\tau_{xy}\\\tau_{xz}\\\tau_{yz} \end{array}\right)\)

\(\normalsize \left(\large\begin{array}{GC+23} \varepsilon_x\\\varepsilon_y\\\varepsilon_z\\\gamma_{xy}\\ \gamma_{xz}\\\gamma_{yz}\end{array}\right)\ {\Large=} \ \left[\begin{array}{CC} \begin{array}\frac1{E_{\fs{+1}x}} &-\frac{\nu_{xy}}{E_{\fs{+1}x}} &-\frac{\nu_{\fs{+1}xz}}{E_{\fs{+1}x}}\\ -\frac{\nu_{yx}}{E_y}&\frac1{E_{y}}&-\frac{\nu_{yz}}{E_y}\\ -\frac{\nu_{\fs{+1}zx}}{E_{\fs{+1}z}}& -\frac{\nu_{zy}}{E_{\fs{+1}z}} &\frac1{E_{\fs{+1}z}}\end{array} & {\LARGE 0} \\ {\LARGE 0} & \begin{array}\frac1{G_{xy}}&&\\ &\frac1{G_{\fs{+1}xz}}&\\&&\frac1{G_{yz}}\end{array} \end{array}\right] \ \left(\large\begin{array} \sigma_x\\\sigma_y\\\sigma_z\\\tau_{xy}\\\tau_{xz}\\\tau_{yz} \end{array}\right)\)

 

 

유명한 정리 혹은 재미있는 문제
  • 케일리-해밀턴 정리
     
선수 과목
  • 대학과정에서 요구되는 선수 과목은 없음.
  • 고교 수학의 행렬, 일차변환에의 익숙함은 도움이 됨.
     
다른 과목과의 관련성
  • 다변수미적분학
  • 상미분방정식
  • 해석학 
    • 내적공간의 개념은 해석학 과목에서 푸리에 시리즈를 공부할 때 필요함.
    • 해석학에서 유용한 개념인 힐버트 공간은 선형대수학의 내적공간의 개념을 요청함.
  • 양자역학
    • 양자역학은 힐버트 공간의 벡터와 그에 작용하는 Hermitian operator의 언어로 기술됨.
       
관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들
  • Multilinear algebra
  • 코딩이론
    • 선형대수를 처음 배울 때는, 보통 스칼라로 사용하는 체를 실수 혹은 복소수로 생각하게 됨.
    • 유한체 위의 선형대수학과 선형대수학의 응용을 맛 볼 수 있음.
  • 이차형식
    • 내적공간의 일반화로서, 좀더 일반적인 symmetric bilinear form 이 주어져 있는 벡터공간, 즉 quadratic space 에 대한 공부는 이차형식의 영역으로 안내.
  • 유한군의 표현론
  • 리대수와 표현론

 

메모
  • principal axis theorem

 

참고할만한 도서 및 자료
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