소모스 수열(Somos sequence)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2011년 3월 1일 (화) 17:48 판
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개요
  • 소모스 4,5,6,7 은 정수수열
  • 소모스 8,9는 정수수열이 아니다
  • 정수수열이 되는가의 문제 (integrality)
  • 합동식을 생각할 때의 주기성 문제 (periodicity modulo n) [Robinson1992]

 

 

 

소모스-4 수열
  • \(a_{n+4}a_{n} = a_{n+3} a_{n+2} + a_{n+1}^2\)
  • 1, 1, 1, 1, 2, 3, 7, 23, 59, 314, 1529, 8209, 83313, 620297, 7869898, 126742987, 1687054711, 47301104551, 1123424582771, 32606721084786
  1. RecurrenceTable[{a[n] a[n - 4] == a[n - 1] a[n - 3] + a[n - 2]^2,  a[1] == 1, a[2] == 1,   a[3] == 1, a[4] == 1}, a,    {n, 20}]

 

 

 

소모스5- 수열
  • \(a_{n+5}a_{n} = a_{n+4} a_{n+1} + a_{n+3} a_{n+2}\)
  • 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 11, 37, 83, 274, 1217, 6161, 22833, 165713, 1249441, 9434290, 68570323, 1013908933
  1. RecurrenceTable[{a[n] a[5 + n] == a[2 + n] a[3 + n] + a[1 + n] a[4 + n], a[1] == 1, a[2] == 1, a[3] == 1, a[4] == 1, a[5] == 1}, a,   {n, 20}]

 

 

소모스-6 수열
  • \(a_{n+6}a_{n} = a_{n+5} a_{n+1} +a_{n+4}a_{n+2}+ a_{n+3}^2\)
  • 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 9, 23, 75, 421, 1103, 5047, 41783, 281527, 2534423, 14161887, 232663909, 3988834875[1]
  1. RecurrenceTable[{a[n] a[n - 6] == a[n - 1] a[n - 5] + a[n - 2] a[n - 4] + a[n - 3]^2, a[1] == 1,   a[2] == 1, a[3] == 1, a[4] == 1, a[5] == 1, a[6] == 1}, a, {n, 20}]

 

 

소모스-8 수열
  • \(a_{n+8}a_{n} = a_{n+7} a_{n+1} +a_{n+6}a_{n+2}+a_{n+5}a_{n+3}+a_{n+4}^2\)
  • 1,1,1,1,1,1,1,1,4,7,13,25,61,187,775,5827,14815,420514/7,28670773/91,6905822101/2275
  1. RecurrenceTable[{a[n] a[n - 8] ==    a[n - 1] a[n - 7] + a[n - 2] a[n - 6] + a[n - 3] a[n - 5] +
        a[n - 4]^2, a[1] == 1, a[2] == 1, a[3] == 1, a[4] == 1, a[5] == 1,
       a[6] == 1, a[7] == 1, a[8] == 1}, a, {n, 20}]

 

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