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* 복소함수론을 사용한 해석적 증명이 얻어짐
 
* 복소함수론을 사용한 해석적 증명이 얻어짐
 
* 후에 에르디시와 셀베르그에 의해 복소함수론을 사용하지 않는 초등적 증명(elementary proof)
 
* 후에 에르디시와 셀베르그에 의해 복소함수론을 사용하지 않는 초등적 증명(elementary proof)
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==체비셰프 $\psi$와 $\theta$==
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* $x>0$에 대하여, 다음과 같이 $\psi$와 $\theta$를 정의
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\psi(x)=\sum_{n \leq x}\Lambda(n)
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\theta(x)=\sum_{p\leq x}\log p
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==동치명제==
 
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;정리
 
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다음은 소수정리와 동치이다
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다음의 관계들은 동치이다
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:<math>\theta(x)=\sum_{p\leq x}\log p \sim x</math>
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;증명
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\lim_{x\to \infty}\frac{\pi(x)\log x}{x}=1 \\
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:<math>\theta(x)=\sum_{p\leq x}\log p \leq \sum_{p\leq x}\log x=\pi(x)\log x</math>
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\lim_{x\to \infty}\frac{\theta(x)}{x}=1 \\
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임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여,
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\lim_{x\to \infty}\frac{\psi(x)}{x}=1
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:<math>\theta(x)\geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}\log p \geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}(1-\epsilon)\log x = (1-\epsilon)\log x\{\pi(x)+O(x^{1-\epsilon}\}</math>
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따라서 <math>\theta(x) \sim x</math> 임을 가정하면,
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:<math>\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}</math>
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==로그적분==
 
==로그적분==
  
 
* [[로그 적분(logarithmic integral)]]
 
* [[로그 적분(logarithmic integral)]]
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:<math>\int_2^{\infty} \frac{1}{\log x}\,dx</math><br>
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:<math>\int_2^{\infty} \frac{1}{\log x}\,dx</math>
  
 
 
 
 
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* [http://www.math.uiuc.edu/%7Er-ash/CV/CV7.pdf http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/CV/CV7.pdf]
 
* [http://www.math.uiuc.edu/%7Er-ash/CV/CV7.pdf http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/CV/CV7.pdf]
 
* <math>\pi(n)\sim \int_2^{n} \frac{1}{\log x}\,dx</math>
 
* <math>\pi(n)\sim \int_2^{n} \frac{1}{\log x}\,dx</math>
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;증명
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:<math>\theta(x)=\sum_{p\leq x}\log p \leq \sum_{p\leq x}\log x=\pi(x)\log x</math>
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임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여,
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:<math>\theta(x)\geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}\log p \geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}(1-\epsilon)\log x = (1-\epsilon)\log x\{\pi(x)+O(x^{1-\epsilon}\}</math>
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따라서 <math>\theta(x) \sim x</math> 임을 가정하면,
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:<math>\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}</math>
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2014년 10월 26일 (일) 15:55 판

개요

  • \(x\) 이하의 소수의 갯수 \(\pi(x)\) 에 대해, \(x\) 가 크면 \(\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}\) 이다. 즉, \(\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)\log(x)}{x} = 1\) 이 성립한다.
  • 가우스가 소수 표를 보다가 처음 발견
  • 복소함수론을 사용한 해석적 증명이 얻어짐
  • 후에 에르디시와 셀베르그에 의해 복소함수론을 사용하지 않는 초등적 증명(elementary proof)


체비셰프 $\psi$와 $\theta$

  • $x>0$에 대하여, 다음과 같이 $\psi$와 $\theta$를 정의

$$ \psi(x)=\sum_{n \leq x}\Lambda(n) $$ $$ \theta(x)=\sum_{p\leq x}\log p $$


동치명제

정리

다음의 관계들은 동치이다 $$ \lim_{x\to \infty}\frac{\pi(x)\log x}{x}=1 \\ \lim_{x\to \infty}\frac{\theta(x)}{x}=1 \\ \lim_{x\to \infty}\frac{\psi(x)}{x}=1 $$


로그적분

\[\int_2^{\infty} \frac{1}{\log x}\,dx\]

 

 

역사

 

 

메모

증명

\[\theta(x)=\sum_{p\leq x}\log p \leq \sum_{p\leq x}\log x=\pi(x)\log x\] 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여, \[\theta(x)\geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}\log p \geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}(1-\epsilon)\log x = (1-\epsilon)\log x\{\pi(x)+O(x^{1-\epsilon}\}\] 따라서 \(\theta(x) \sim x\) 임을 가정하면, \[\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}\] 를 얻는다.■  

관련된 항목들

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문

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