"소수 정리"의 두 판 사이의 차이
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:<math>\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)\log(x)}{x} = 1</math> | :<math>\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)\log(x)}{x} = 1</math> | ||
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Hardy–Littlewood_tauberian_theorem | * http://en.wikipedia.org/wiki/Hardy–Littlewood_tauberian_theorem | ||
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==리뷰, 에세이, 강의노트== | ==리뷰, 에세이, 강의노트== | ||
* Gasarch, William, and Larry Washington. “<math>\sum_{p\le N} 1/p = Ln(ln N) + O(1)</math>: An Exposition.” arXiv:1511.01823 [math], November 5, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.01823. | * Gasarch, William, and Larry Washington. “<math>\sum_{p\le N} 1/p = Ln(ln N) + O(1)</math>: An Exposition.” arXiv:1511.01823 [math], November 5, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.01823. | ||
* http://people.oregonstate.edu/~peterseb/misc/docs/pnt2.pdf | * http://people.oregonstate.edu/~peterseb/misc/docs/pnt2.pdf | ||
| − | * D. Goldfeld, [http://www.math.columbia.edu/%7Egoldfeld/ErdosSelbergDispute.pdf THE ELEMENTARY PROOF OF THE PRIME NUMBER THEOREM: AN HISTORICAL PERSPECTIVE] | + | * D. Goldfeld, [http://www.math.columbia.edu/%7Egoldfeld/ErdosSelbergDispute.pdf THE ELEMENTARY PROOF OF THE PRIME NUMBER THEOREM: AN HISTORICAL PERSPECTIVE] |
==관련논문== | ==관련논문== | ||
2020년 12월 28일 (월) 03:32 판
개요
- \(x\) 이하의 소수의 갯수 \(\pi(x)\) 에 대해, \(x\) 가 크면 \(\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}\) 이다. 즉 다음이 성립한다
\[\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)\log(x)}{x} = 1\]
체비셰프 \(\psi\)와 \(\theta\)
- \(x>0\)에 대하여, 다음과 같이 \(\psi\)와 \(\theta\)를 정의
\[ \psi(x)=\sum_{n \leq x}\Lambda(n) \] \[ \theta(x)=\sum_{p\leq x}\log p \]
- 정리
\(x>0\)에 대하여 다음이 성립한다 \[ 0\leq \frac{\psi(x)}{x}-\frac{\theta(x)}{x}\leq \frac{(\log x)^2}{2\sqrt{x}\log 2} \]
소수 계량 함수와의 관계
- 정리
\(x\geq 2\)에 대하여 다음이 성립한다 \[ \theta(x)=\pi(x)\log x-\int_{2}^{x}\frac{\pi(t)}{t}\, dt\\ \pi(x)=\frac{\pi(x)}{\log x}+\int_{2}^{x}\frac{\theta(t)}{t\log^2 t}\, dt \]
- 증명
함수 \(a\)가 소수집합에 대한 특성함수, 즉 \[ a(n) = \begin{cases} 1, & \text{if \]n\( is prime}\\ 0, & \text{otherwise} \\ \end{cases} \) 라 하자.
이 때, \(\pi(x)=\sum_{1<n \leq x}a(n)\) 그리고 \(\theta(x)=\sum_{1<n \leq x} a(n)\log n\)이 성립한다.
아벨 항등식을 적용하면, \[ \begin{aligned} \theta(x)&=\pi(x)\log x-\pi(1)\log 1-\int_{1}^{x}\frac{\pi(t)}{t}\,dt\\ &=\pi(x)\log x-\int_{2}^{x}\frac{\pi(t)}{t}\,dt \end{aligned} \]
한편 \(b(n)=a(n)\log n\)으로 두면, 다음이 성립한다 \[ \begin{aligned} \pi(x)&=\sum_{3/2<n\leq x}b(n)\frac{1}{\log n}\\ &=\frac{\theta(x)}{\log x}-\frac{\theta(3/2)}{\log 3/2}+\int_{3/2}^{x}\frac{\theta(t)}{t\log^2 t}\,dt\\ &=\frac{\pi(x)}{\log x}+\int_{2}^{x}\frac{\theta(t)}{t\log^2 t}\, dt \end{aligned} \]
동치명제
- 정리
다음의 관계들은 동치이다 \[ \lim_{x\to \infty}\frac{\pi(x)\log x}{x}=1 \\ \lim_{x\to \infty}\frac{\theta(x)}{x}=1 \\ \lim_{x\to \infty}\frac{\psi(x)}{x}=1 \]
로그적분
\[\int_2^{\infty} \frac{1}{\log x}\,dx\]
역사
- 1792-3 가우스의 실험적인 관찰에서 발견
- 1798 르장드르가 소수 정리를 추측
- 1859 리만이 리만 가설을 발표
- 1896 아다마르와 드라발레푸생에 의해 (독립적으로) 복소함수론을 사용한 해석적 증명이 얻어짐
- 1948 에르디시와 셀베르그가 복소함수론을 사용하지 않는 초등적 방법으로 소수 정리를 증명
- 수학사 연표
메모
- [[http://www.mathpages.com/home/kmath032.htm
- http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/CV/CV7.pdf
- \(\pi(n)\sim \int_2^{n} \frac{1}{\log x}\,dx\)
- 증명
\[\theta(x)=\sum_{p\leq x}\log p \leq \sum_{p\leq x}\log x=\pi(x)\log x\] 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여, \[\theta(x)\geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}\log p \geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}(1-\epsilon)\log x = (1-\epsilon)\log x\{\pi(x)+O(x^{1-\epsilon}\}\] 따라서 \(\theta(x) \sim x\) 임을 가정하면, \[\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}\] 를 얻는다.■
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/소수정리
- http://en.wikipedia.org/wiki/prime_number_theorem
- http://en.wikipedia.org/wiki/Explicit_formula
- http://en.wikipedia.org/wiki/Hardy–Littlewood_tauberian_theorem
리뷰, 에세이, 강의노트
- Gasarch, William, and Larry Washington. “\(\sum_{p\le N} 1/p = Ln(ln N) + O(1)\): An Exposition.” arXiv:1511.01823 [math], November 5, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.01823.
- http://people.oregonstate.edu/~peterseb/misc/docs/pnt2.pdf
- D. Goldfeld, THE ELEMENTARY PROOF OF THE PRIME NUMBER THEOREM: AN HISTORICAL PERSPECTIVE
관련논문
- Selberg, Atle. “An Elementary Proof of the Prime-Number Theorem.” The Annals of Mathematics 50, no. 2 (April 1949): 305. doi:10.2307/1969455.