수열

간단한 요약

• 숫자를 나열한 것. 보통 <일정한 규칙을 가지고> 라는 조건이 붙는 경우가 많음.
• 정의역이 자연수인 함수로 생각할 수 있음.
• 항이 유한 개 있으면 유한수열, 항이 무한히 많으면 무한수열.
• 보통 n 번째 수를  과 같이 첨자(index)를 사용해서 표시함. 즉, 는 수열. a 대신 다른 알파벳을 써도 무방함.
• 영어로는 Sequence 라고 한다. 이 단어를 <수열> 이라고 번역하는 바람에, 실수열, 함수열, 행렬열, 벡터열, … 이 모두 수열에 속하게 되었다.

 

 

중요한 개념 및 정리

• 일반항 : n 번째 수가 무엇인지 알려 주는 식.
  
  • ex) 의 일반항을 가지는 수열 :
• 점화식 : 항 사이의 관계식을 써서 수열을 나타낸 식.
  
  • ex) 점화식 을 만족하고 첫번째 항이  인 수열 :
  • 점화식에서 일반항을 찾아내는 것은 중요한 문제임.
• 부분합 : 수열 에서 새로운 수열 을 로 해서 만들어 낼 수 있다. 이 수열 을 의 <부분합> 이라고 부른다. 즉, :
  
  • 일 때 이므로, 부분합의 일반항을 알면 수열의 일반항을 구할 수 있다.
  • 급수 : n 이 무한히 커질 때 부분합 이 어떤 수에 무한히 가까워질 때, 그 값을 수열의 <급수> 라고 한다.
• 등차수열
  
  • 2, 5, 7, 11, … 와 같이 일정한 숫자를 더해가는 수열.
  • 일반항 : 처음 항 와 더해 주는 수 가 이루는 등차수열 :
  • 점화식 : . 이때 는 <공차> 라고 부른다.
  • 등차중항 : 연속한 세 수가 등차수열을 이루면 가운데 수는 양 끝의 수의 평균이다.
  • 부분합 :
• 등비수열
  
  • 와 같이 일정한 숫자를 곱해가는 수열.
  • 일반항 : 처음 항 와 곱해 주는 수 이 이루는 등비수열 :
  • 점화식 : . 이때 은 <공비> 라고 부른다.
  • 등비중항 : 연속한 세 수가 등비수열을 이루면 가운데 수는 양 끝의 수의 기하평균이다.
  • 부분합 :
  • (Tip) : 모든 항이 양수인 등비수열인 경우, 각 항에 로그를 취한 수열은 등차수열이 된다.
• 수열의 극한 : 수렴과 발산.
  
  • 무한수열의 항이 어떤 수 에 무한히 가까이 접근해 갈 때, <수열이 에 수렴한다> 라고 말한다.
    
    • ex) 수열 은 로 수렴한다.
    • ex) 수열 은 으로 수렴한다.
  • 무한수열이 수렴하지 않을 때 <수열이 발산한다> 라고 말한다.
    
    • 수열의 항이 무한히 커져 갈 때 <수열이 ∞(무한대)로 발산한다> 라고 한다.
      
      • ex) 수열 는 무한대로 발산한다.
      • ex) 수열 는 -∞(음의 무한대)로 발산한다.
      • <무한대> 라는 개념은, <어떤 실수보다 큰 수가 존재해서 그 수를 무한대라 한다> 는 것이 아니라, <한없이 커져 가는 상태> 라고 생각해야 한다.
    • 발산하는 수열의 항이 ∞ 나 -∞ 로 발산하지 않는 경우 <수열이 진동한다> 라고 한다.
      
      • ex) 수열 는 진동한다.
      • ex) 수열 는 진동한다. 
        
• 시그마 기호
  
  • 합을 나타내기 위한 기호. 이 기호를 사용하면 … 등의 표현을 쓰지 않아도 됨.
  • 이다. 여기서  는 다른 문자여도 무방함. 즉
  • , (시그마 기호의 선형성)
  • 예
    
    • : 등차수열의 부분합
    • : 등비수열의 부분합
  • 에 대한 다항식으로 이루어진 수열의 부분합은 구할 수 있다.
    
    • 예
      
      • (전혀 알 필요 없는 식이지만, 알고 싶은 학생을 위하여)
  • 망원급수(telescopic sum) : 교육 과정 외이나 알아 두면 굉장히 도움이 됨.
    
    • 위의 꼴로 수열을 변형시키면 쉽게 부분합을 구할 수 있다.
      
      • ex)
• 여러 가지 수열
  
  • 계차수열 : 어떤 수열의 각 항의 차로 이루어진 수열.
    
    • ex) 수열 의 계차수열은 가 된다.
    • 수열 의 계차수열이 인 경우
      에서 모든 항을 더하면
      가 되어, 계차수열의 일반항을 아는 경우 원래 수열의 일반항을 알 수 있게 된다.
      
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