순환 체확장(cyclic extension)

수학노트
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개요

  • 체\(F\)와 그 갈루아체확장 \(K\)에 대하여 군 \(\text{Gal}(K/F)\)이 순환군이면, 이 체확장을 순환체확장이라 부름
  • 쿰머의 이론에 의하여 일반화된다

 

 

(정리)

\(F\)가 primitive n-th root of unity \(\zeta_n\)를 포함한다 하자.(가령 \(F\)가 복소수체를 포함하는 경우)

\(K\)가 F의 순환체확장이면, 적당한 원소 \(a\in F\) 가 존재하여, \(K= F(a)\)와 \(a^n\in F\) 를 만족시킨다.

 

(증명)

힐버트 정리 90... 또는

\(\text{Gal}(K/F)\) 가 \(\sigma\)에 의하여 생성되는 순환군이라 하자.

\(K\)에 정의된 \(F\)-선형사상 \(\tau=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i\)는 \(\{\sigma^i\}\)의 선형독립성(데데킨트 보조정리)에 의하여,  0이 아니다.

따라서 \(\tau(b)\in K\neq 0 \) 인 \(b\in K\)가 존재한다. 

\(a=\tau(b)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b)\)로 두면, (Lagrange resolvents)

 \(\sigma(a)=\sigma\left(\tau(b)\right)=\sigma\left(\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b)\right)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^{i+1}\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}a\)

따라서 \([F(a):F]\geq n\) 임을 알 수 있고, \([K:F]=n\)으로부터 \(K= F(a)\)를 얻는다.

한편  \(\sigma(a)=\zeta_n^{-1}a\) 이므로, \(\sigma(a^n)=a^n\)이 된다. 따라서 \(a^n\in F\). ■

 

 

쿰머 이론

  • \(F\)가 primitive n-th root of unity \(\zeta_n\)를 포함한다 하자.
  • \(F^{\times}/(F^{\times})^n\) 의 부분군과 exponent가 n인 F의 가환인 갈루아 체확장 사이에는 일대일 대응이 존재한다

 

 

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