"순환 체확장(cyclic extension)"의 두 판 사이의 차이
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<math>\sigma(a)=\sigma(\tau(b))=\sigma(\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b))=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^{i+1}\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}a</math> | <math>\sigma(a)=\sigma(\tau(b))=\sigma(\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b))=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^{i+1}\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}a</math> | ||
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| + | * <math>F</math>가 primitive n-th root of unity <math>}\zeta_n</math>를 포함한다 하자.<br> | ||
| + | * <math>F^{\times}/(F^{\times})^n</math> 의 부분군과 exponent가 n인 F의 가환인 갈루아 체확장 사이에는 일대일 대응이 존재한다<br> | ||
2012년 6월 2일 (토) 08:29 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 체\(F\)와 그 갈루아체확장 \(K\)에 대하여 군 \(\text{Gal}(K/F)\)이 순환군이면, 이 체확장을 순환체확장이라 부름
- 쿰머의 이론에 의하여 일반화된다
(정리)
\(F\)가 primitive n-th root of unity \(}\zeta_n\)를 포함한다 하자.(가령 \(F\)가 복소수체를 포함하는 경우)
\(K\)가 F의 순환체확장이면, 적당한 원소 \(a\in F\) 가 존재하여, \(K= F(a)\)와 \(a^n\in F\) 를 만족시킨다.
(증명)
힐버트 정리 90... 또는
\(\text{Gal}(K/F)\) 가 \(\sigma\)에 의하여 생성되는 순환군이라 하자.
\(K\)에 정의된 (\(F\)-)선형사상 \(\tau=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i\)는 \(\{\sigma^i\}\)의 선형독립성에 의하여, 0이 아니다.
따라서 \(\tau(b)\in K\neq 0 \) 인 \(b\in K\)가 존재한다.
\(a=\tau(b)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b)\)로 두면, (Lagrange resolvents)
\(\sigma(a)=\sigma(\tau(b))=\sigma(\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b))=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^{i+1}\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}a\)
따라서 \([F(a):F]\geq n\) 임을 알 수 있고, \([K:F]=n\)으로부터 \(K= F(a)\)를 얻는다.
한편 \(\sigma(a)=\zeta_n^{-1}a\) 이므로, \(\sigma(a^n)=}a^n\)이 된다. 따라서 \(a^n\in F\). ■
쿰머 이론
- \(F\)가 primitive n-th root of unity \(}\zeta_n\)를 포함한다 하자.
- \(F^{\times}/(F^{\times})^n\) 의 부분군과 exponent가 n인 F의 가환인 갈루아 체확장 사이에는 일대일 대응이 존재한다
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Kummer_theory
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
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