순환 행렬(circulant matrix)과 행렬식

수학노트
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개요

\(C_n=\begin{bmatrix}a_0 & a_{1} & \dots & a_{n-2} & a_{n-1} \\a_{n-1} & a_0 & a_{1} & & a_{n-2} \\\vdots & a_{n-1}& a_0 & \ddots & \vdots \\a_{2} & & \ddots & \ddots & a_{1} \\a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n-1} & a_0 \\\end{bmatrix}\) 꼴의 행렬

 

\(\left( \begin{array}{c} a_0 \end{array} \right)\)

\(\left( \begin{array}{cc} a_0 & a_1 \\ a_1 & a_0 \end{array} \right)\)

\(\left( \begin{array}{ccc} a_0 & a_1 & a_2 \\ a_2 & a_0 & a_1 \\ a_1 & a_2 & a_0 \end{array} \right)\)

\(\left( \begin{array}{cccc} a_0 & a_1 & a_2 & a_3 \\ a_3 & a_0 & a_1 & a_2 \\ a_2 & a_3 & a_0 & a_1 \\ a_1 & a_2 & a_3 & a_0 \end{array} \right)\)

\(\left( \begin{array}{ccccc} a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ a_4 & a_0 & a_1 & a_2 & a_3 \\ a_3 & a_4 & a_0 & a_1 & a_2 \\ a_2 & a_3 & a_4 & a_0 & a_1 \\ a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & a_0 \end{array} \right)\)

 

대각화

정리

primitive인 n-단위근 $\omega$에 대하여, $\omega_j:=\omega^j$라 두자. 벡터 \((\omega_j^{k})_{0\leq k \leq n-1}\)는 순환 행렬 $C_n$의 고유벡터이며, 고유값은 $\sum_{k=0}^{n-1}\omega_{j}^{k}a_k$로 주어진다


  • $\omega=e^{2\pi i/4}=i$
  • 행렬 $\mathcal{F}_4$를 다음과 같이 정의하자

$$\mathcal{F}_4=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega ^2 & \omega ^3 \\ 1 & \omega ^2 & 1 & \omega ^2 \\ 1 & \omega ^3 & \omega ^2 & \omega \\ \end{array} \right) $$

  • 다음이 성립한다

$$ \mathcal{F}_4^{-1}C_4\mathcal{F}_4=\left( \begin{array}{cccc} a_0+a_1+a_2+a_3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_3 \omega ^3+a_2 \omega ^2+a_1 \omega +a_0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_1 \omega ^2+a_3 \omega ^2+a_0+a_2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_1 \omega ^3+a_2 \omega ^2+a_3 \omega +a_0 \\ \end{array} \right) $$

 

행렬식

정리

$C_n$의 행렬식은 다음으로 주어진다 \[\det(C_n)=\prod _{j=0}^{n-1} \sum _{k=0}^{n-1} \omega_{j} ^{ k} a_k\] 여기서 \(\omega_j=\exp \left(\frac{2\pi i j}{n}\right)\)

\[ \begin{array}{l} \begin{aligned} \det(C_1)&=a_0 \\ \det(C_2)&=\left(a_0+a_1\right) \left(a_0+\omega a_1\right) \\ &=a_0^2-a_1^2 \\ \det(C_3)&=\left(a_0+a_1+a_2\right) \left(a_0+\omega ^2 a_1+\omega a_2\right) \left(a_0+\omega a_1+\omega ^2 a_2\right)\\ &=a_0^3+a_1^3+a_2^3 -3 a_1 a_2 a_0\\ \det(C_4)&=\left(a_0+a_1+a_2+a_3\right) \left(a_0+\omega ^3 a_1+\omega ^2 a_2+\omega a_3\right) \left(a_0+\omega ^2 a_1+a_2+\omega ^2 a_3\right) \left(a_0+\omega a_1+\omega ^2 a_2+\omega ^3 a_3\right) \\ &=a_0^4-2 a_2^2 a_0^2-4 a_1 a_3 a_0^2+4 a_2 a_3^2 a_0+4 a_1^2 a_2 a_0-a_1^4+a_2^4-a_3^4+2 a_1^2 a_3^2-4 a_1 a_2^2 a_3 \end{aligned} \end{array} \]


정수 계수 순환 행렬의 예

$$ \begin{array}{l|l} \left( \begin{array}{c} 1 \end{array} \right) & 1 \\ \hline \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 4 & 1 \end{array} \right) & -15 \\ \hline \left( \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 9 \\ 9 & 1 & 4 \\ 4 & 9 & 1 \end{array} \right) & 686 \\ \hline \left( \begin{array}{cccc} 1 & 4 & 9 & 16 \\ 16 & 1 & 4 & 9 \\ 9 & 16 & 1 & 4 \\ 4 & 9 & 16 & 1 \end{array} \right) & -62400 \\ \hline \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\ 25 & 1 & 4 & 9 & 16 \\ 16 & 25 & 1 & 4 & 9 \\ 9 & 16 & 25 & 1 & 4 \\ 4 & 9 & 16 & 25 & 1 \end{array} \right) & 9406375 \end{array} $$

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관련논문

  • Kushel, Olga, and Mikhail Tyaglov. “Circulants and Critical Points of Polynomials.” arXiv:1512.07983 [math], December 25, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.07983.