숫자 12와 24

수학노트
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개요



숫자 12

\[\Delta(\tau)= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= q-24q+252q^2 \cdots\] 는 weight 12 cusp form

  • \(\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})_{ab}=C_{12}\)
  • 오비폴드 오일러 표수\[\chi(SL(2,\mathbb{Z}))=-\frac{1}{12}\]
  • 라마누잔과 1729\[1729=12^3+1^3=10^3+9^3\]
  • 스털링 공식\[ n!=\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n \left( 1 +{1\over12n} +{1\over288n^2} -{139\over51840n^3} -{571\over2488320n^4} + \cdots \right)\]



숫자 24

\[\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{(2\pi)^2}{24}\]

  • 분할수의 생성함수(오일러 함수)\[z=q,q=e^{-\epsilon}\] 으로 두면 \(\epsilon\sim 0\) 일 때, \(1-q\sim \epsilon\)\[\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})=\exp(\frac{(2\pi)^2}{24\epsilon})\]\[\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12\epsilon}+\frac{\epsilon}{24})\]
  • 26=24+2는 보존 끈이론의 차원



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