슈바르츠-크리스토펠 사상(Schwarz-Christoffel mappings)

수학노트
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개요

  • 복소상반평면을 다각형의 내부로 보내는 등각사상
  • 다음 조건을 가정
    • 실수축 위에 있는 \(\{a_k \in\mathbb{R}| k=1,\cdots, n\}\)가 n각형의 꼭지점으로 보내지고
    • n각형의 내각이 \(\{\alpha_k \pi| k=1,\cdots, n\}\)이고 외각이 \(\{\lambda_k \pi| k=1,\cdots, n\}\) 인 경우 (즉 \(\alpha_k+\mu_k=1\), \(\sum_{k=1}^n \mu_k=2\))
  • 위의 같은 조건하에서, 슈바르츠-크리스토펠 사상은 다음의 형태로 주어짐\[f(z)=\alpha +\beta \underset{0}{\overset{z}{\int }}\prod _{k=1}^n \left(\zeta -a_k\right){}^{\alpha_k-1}d\zeta=\alpha +\beta \underset{0}{\overset{z}{\int }}\prod _{k=1}^n \frac{1}{\left(\zeta -a_k\right){}^{\mu_k}}d\zeta\]
  • \(a_n=\infty\) 인 경우, 슈바르츠-크리스토펠 사상은 다음의 형태로 주어짐\[f(z)=\alpha +\beta \underset{0}{\overset{z}{\int }}\prod _{k=1}^{n-1} \left(\zeta -a_k\right){}^{\alpha_k-1}d\zeta=\alpha +\beta \underset{0}{\overset{z}{\int }}\prod _{k=1}^{n-1} \frac{1}{\left(\zeta -a_k\right){}^{\mu_k}}d\zeta\]


미분방정식

  • 슈바르츠-크리스토펠 사상이 만족해야 하는 미분방정식\[\frac{f''(z)}{f'(z)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{-\mu_k}{z-a_k}\]
  • \({f''(z)}/{f'(z)}\) 는 연산자로서 \(f\mapsto \alpha f+\beta\) 에 의해 불변이다
  • 슈바르츠 미분(Schwarzian derivative) 과의 유사성



국소적인 이해

  • 우선 \(z^{\alpha}\) 형태의 복소함수에 대해서 이해할 필요가 있음
  • \(\alpha > 0\) 인 경우에 대해서 생각해보자

\[z^{\alpha}=e^{\alpha \ln z}= e^{\alpha (\ln |z|+i\arg z)} =\exp(\ln |z|^{\alpha}+\alpha i \arg z)\]

  • 이 함수가 복소상반평면을 어떻게 변화시키는지 알아보기 위해 \(\arg z\)의 브랜치를 하나 고정하자
  • \(z\) 가 실수라고 하자.
    • \(z>0\) 이면 \(\arg z =0\)
    • \(z<0\) 이면 \(\arg z =\pi\)
  • 상반평면이 \(z^{\alpha}\) 에 의해 각도가 \(\alpha \pi\)인 두 직선으로 쌓인 영역으로 변화하며, \(z<0\) 의 이미지에서 \(z>0\) 의 이미지로 갈 때, 시계방향으로 \((1-\alpha) \pi\) 만큼 회전하게 된다



상반평면을 삼각형으로 보내는 예

  • 다음 슈바르츠-크리스토펠 사상은 상반평면을, 세 내각이 \(\pi/4,\pi/4,\pi/2\) 인 직각이등변 삼각형으로 보낸다\[f(z)=\int_0^z \left(\zeta-1\right)^{-3/4}\left(\zeta+1\right)^{-3/4}\, d\zeta\]




등각사상으로서의 타원적분

  • 다음과 같은 형태로 주어지는 타원적분 을 생각하자\[f(z)=\int_0^z\frac{d\zeta}{\sqrt{(\zeta+1)\zeta(\zeta-1)}}\]
  • 이러한 타원적분으로 주어진 함수가 등각사상으로서 어떤 성질을 갖는지 알기 위해 국소적으로 보자면,
    • \(z=-1\) 근방에서 \(f(z)-f(-1) \approx (z+1)^{\frac{1}{2}}\)
    • \(z=0\) 근방에서 \(f(z)-f(0) \approx z^{\frac{1}{2}}\)
    • \(z=1\) 근방에서 \(f(z)-f(1) \approx (z-1)^{\frac{1}{2}}\)
    • \(z=\infty\) 근방, 즉 \(w=1/z \approx 0\) 일 때 \(f(1/w)-f(\infty) \approx w^{\frac{1}{2}}\)
  • 슈바르츠-크리스토펠 사상의 관점에서 보면, 타원적분은 복소상반평면을 직각사각형으로 보낸다
  • 따라서 역함수의 해석적 확장을 생각하면 이중주기의 타원함수 가 얻어지게 된다



단위원에 대한 슈바르츠-크리스토펠 사상


  • 단위원에 대한 슈바르츠-크리스토펠 사상 (Schwarz-Christoffel mappings)은 이러한 사상을 다음과 같이 구체적으로 표현할 수 있게 해주는 공식.

\[f(z)=\int_0^z\frac{(1-\zeta^5)^{\frac{2}{5}}}{(1+\zeta^5)^{\frac{4}{5}}}\,d\zeta\]




메모


관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스



사전 형태의 자료


관련도서


관련논문

  • Hakula, Harri, Tri Quach, and Antti Rasila. “Conjugate Function Method and Conformal Mappings in Multiply Connected Domains.” arXiv:1502.02047 [math], February 6, 2015. http://arxiv.org/abs/1502.02047.