슈바르츠 미분(Schwarzian derivative)

수학노트
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개요

  • 복소함수 f 에 대하여, 슈바르츠 미분을 다음과 같이 정의함

\[ \begin{aligned} (Sf)(z) &= \left({f''(z) \over f'(z)}\right)' - {1\over 2}\left({f''(z)\over f'(z)}\right)^2 \\ &= {f'''(z) \over f'(z)}-{3\over 2}\left({f''(z)\over f'(z)}\right)^2 \end{aligned} \]

  • \(\{f,z\}:=(Sf)(z)\)

 

 

뫼비우스 변환

  • \(F(z)=\frac{af(z)+b}{cf(z)+d}\) 일 때, \(\{f,z\}=\{F,z\}\) 가 성립한다
  • \(\{f,z\}=0\) 이면, \(f(z)=\frac{az+b}{cz+d}\)

 

 

이계 선형 미분방정식

  • 다음 형태의 이계 선형 미분방정식을 생각하자\[u''(z)+P(z)u(z)=0\]
  • \(u_1(z), u_2(z)\) 가 이 미분방정식의 일차독립인 두 해이면, \(w(z)=\frac{u_1(z)}{u_2(z)}\) 는 다음 미분방정식의 해이다\[\{w,z\}=2P(z)\]

 

 

슈바르츠 s-함수

(정리)

복소상반평면을 \(\alpha\pi,\beta\pi,\gamma\pi\) 를 세 각으로 갖는 삼각형으로 보내는 해석함수 \(w=s(z)\)는 다음 초기하미분방정식\(z(1-z)y''+(c-(a+b+1)z)y'-aby = 0\) 의 선형독립인 두 해, \(y_1(z),y_2(z)\) 의 비로 표현할 수 있다. 즉 \(w=\frac{y_1(z)}{y_2(z)}\) 이다.

여기서 \(\alpha =1-c,\beta =a-b,\gamma =-a-b+c\).

 

(증명)

\(P(z)=\frac{1}{4}\left(\frac{1-\alpha ^2}{z^2}+\frac{1-\gamma ^2}{(z-1)^2}+\frac{\alpha ^2+\gamma ^2-\beta ^2-1}{z(z-1)}\right)\) 라 하자.

원하는 해석함수는 미분방정식 \(\{w,z\}=2P(z)\)의 해이다. 

위에서 서술한대로

\(u''(z)+P(z)u(z)=0\)의 선형독립인 두 해 \(u_1(z), u_2(z)\)에 대하여, \(w(z)=\frac{u_1(z)}{u_2(z)}\) 로 표현할 수 있다.

 

이계 선형 미분방정식 에서 얻은 결과에 따라, 미분방정식 \(u''(z)+P(z)u(z)=0\)를 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations) 형태로 변형할 수 있다.

따라서 \(z(1-z)y''+(c-(a+b+1)z)y'-aby = 0\) 의 선형독립인 두 해, \(y_1(z),y_2(z)\)에 대하여, \(w(z)=\frac{y_1(z)}{y_2(z)}\)로 쓸 수 있다.  ■

 

 

 

 

역사

 

 

 

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사전 형태의 자료


 

관련논문

  • Tamanoi, Hirotaka. “Higher Schwarzian Operators and Combinatorics of the Schwarzian Derivative.” Mathematische Annalen 305, no. 1 (1996): 127–151. doi:10.1007/BF01444214.