"슈바르츠 미분(Schwarzian derivative)"의 두 판 사이의 차이

2012년 7월 25일 (수) 05:39 판

복소함수 f 에 대하여, 슈바르츠 미분을 다음과 같이 정의함
\((Sf)(z) = \left({f''(z) \over f'(z)}\right)' - {1\over 2}\left({f''(z)\over f'(z)}\right)^2\)
\( = {f'''(z) \over f'(z)}-{3\over 2}\left({f''(z)\over f'(z)}\right)^2\)
\(\{f,z\}:=(Sf)(z)\)

다음 형태의 이계 선형 미분방정식을 생각하자
\(u''(z)+P(z)u(z)=0\)
\(u_1(z), u_2(z)\) 가 이 미분방정식의 일차독립인 두 해이면, \(w(z)=\frac{u_1(z)}{u_2(z)}\) 는 다음 미분방정식의 해이다
\(\{w,z\}=2P(z)\)

슈바르츠 삼각형 함수 (s-함수)
복소상반평면을 \(\alpha\pi,\beta\pi,\gamma\pi\) 를 세 각으로 갖는 삼각형으로 보내는 해석함수는 다음 초기하미분방정식
\(z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0\)
\(P(z)=\frac{1}{4}\left(\frac{1-\alpha ^2}{z^2}+\frac{1-\gamma ^2}{(z-1)^2}+\frac{\alpha ^2+\gamma ^2-\beta ^2-1}{z(z-1)}\right)\) 라 하자.
미분방정식 \(\{w,z\}=2P(z)\)의 해는 \(w=\frac{y_1(z)}{y_2(z)}\)

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 * [[슈바르츠 삼각형 함수|슈바르츠 삼각형 함수 (s-함수)]]
-* <math>P(z)=\frac{1}{4}\left(\frac{1-\alpha ^2}{z^2}+\frac{1-\gamma ^2}{(z-1)^2}+\frac{\alpha ^2+\gamma ^2-\beta ^2-1}{z(z-1)}\right)</math> 인 경우를 생각하자.
+*  복소상반평면을 <math>\alpha\pi,\beta\pi,\gamma\pi</math> 를 세 각으로 갖는 삼각형으로 보내는 해석함수는 다음 초기하미분방정식<br><math>z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0</math><br>
-*  미분방정식 <math>\{w,z\}=2P(z)</math>의 해는<br>  <br>  <br>  <br>
+* <math>P(z)=\frac{1}{4}\left(\frac{1-\alpha ^2}{z^2}+\frac{1-\gamma ^2}{(z-1)^2}+\frac{\alpha ^2+\gamma ^2-\beta ^2-1}{z(z-1)}\right)</math> 라 하자.
+* 미분방정식 <math>\{w,z\}=2P(z)</math>의 해는 <math>w=\frac{y_1(z)}{y_2(z)}</math>