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==개요==
  
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*  복소함수 f 에 대하여, 슈바르츠 미분을 다음과 같이 정의함
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(Sf)(z) &= \left({f''(z) \over f'(z)}\right)' - {1\over 2}\left({f''(z)\over f'(z)}\right)^2 \\
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&= {f'''(z) \over f'(z)}-{3\over 2}\left({f''(z)\over f'(z)}\right)^2
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* <math>\{f,z\}:=(Sf)(z)</math>
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* <math>F(z)=\frac{af(z)+b}{cf(z)+d}</math> 일 때, <math>\{f,z\}=\{F,z\}</math> 가 성립한다
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* <math>\{f,z\}=0</math> 이면, <math>f(z)=\frac{az+b}{cz+d}</math>
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==이계 선형 미분방정식==
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*  다음 형태의 [[이계 선형 미분방정식]]을 생각하자:<math>u''(z)+P(z)u(z)=0</math>
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* <math>u_1(z), u_2(z)</math> 가 이 미분방정식의 일차독립인 두 해이면, <math>w(z)=\frac{u_1(z)}{u_2(z)}</math> 는 다음 미분방정식의 해이다:<math>\{w,z\}=2P(z)</math>
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==슈바르츠 s-함수==
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복소상반평면을 <math>\alpha\pi,\beta\pi,\gamma\pi</math> 를 세 각으로 갖는 삼각형으로 보내는 해석함수 <math>w=s(z)</math>는 다음 초기하미분방정식<math>z(1-z)y''+(c-(a+b+1)z)y'-aby = 0</math> 의 선형독립인 두 해, <math>y_1(z),y_2(z)</math> 의 비로 표현할 수 있다. 즉 <math>w=\frac{y_1(z)}{y_2(z)}</math> 이다.
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여기서 <math>\alpha =1-c,\beta =a-b,\gamma =-a-b+c</math>.
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(증명)
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<math>P(z)=\frac{1}{4}\left(\frac{1-\alpha ^2}{z^2}+\frac{1-\gamma ^2}{(z-1)^2}+\frac{\alpha ^2+\gamma ^2-\beta ^2-1}{z(z-1)}\right)</math> 라 하자.
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원하는 해석함수는 미분방정식 <math>\{w,z\}=2P(z)</math>의 해이다.
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위에서 서술한대로
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<math>u''(z)+P(z)u(z)=0</math>의 선형독립인 두 해 <math>u_1(z), u_2(z)</math>에 대하여, <math>w(z)=\frac{u_1(z)}{u_2(z)}</math> 로 표현할 수 있다.
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[[이계 선형 미분방정식]] 에서 얻은 결과에 따라, 미분방정식 <math>u''(z)+P(z)u(z)=0</math>를 [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)]] 형태로 변형할 수 있다.
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따라서 <math>z(1-z)y''+(c-(a+b+1)z)y'-aby = 0</math> 의 선형독립인 두 해, <math>y_1(z),y_2(z)</math>에 대하여, <math>w(z)=\frac{y_1(z)}{y_2(z)}</math>로 쓸 수 있다.  ■
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* [[슈바르츠 삼각형 함수|슈바르츠 삼각형 함수 (s-함수)]]  에 응용된다
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==메모==
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* [http://delta.cs.cinvestav.mx/%7Emcintosh/comun/complex/node18.html http://delta.cs.cinvestav.mx/~mcintosh/comun/complex/node18.html]
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Hypergeometric_function#Q-form
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* [http://delta.cs.cinvestav.mx/%7Emcintosh/comun/complex/node54.html http://delta.cs.cinvestav.mx/~mcintosh/comun/complex/node54.html]
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* http://www.ams.org/notices/200901/tx090100034p.pdf
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==관련된 항목들==
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxeWVpa1QzQ0daOGc/edit
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==사전 형태의 자료==
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzian_derivative
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* http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Schwarzian_derivative
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==관련논문==
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* Tamanoi, Hirotaka. “Higher Schwarzian Operators and Combinatorics of the Schwarzian Derivative.” Mathematische Annalen 305, no. 1 (1996): 127–151. doi:10.1007/BF01444214.
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q21028472 Q21028472]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'hypergeometric'}, {'LEMMA': 'function'}]
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* [{'LOWER': 'gaussian'}, {'LOWER': 'hypergeometric'}, {'LEMMA': 'function'}]
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* [{'LOWER': 'ordinary'}, {'LOWER': 'hypergeometric'}, {'LEMMA': 'function'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:50 기준 최신판

개요

  • 복소함수 f 에 대하여, 슈바르츠 미분을 다음과 같이 정의함

\[ \begin{aligned} (Sf)(z) &= \left({f''(z) \over f'(z)}\right)' - {1\over 2}\left({f''(z)\over f'(z)}\right)^2 \\ &= {f'''(z) \over f'(z)}-{3\over 2}\left({f''(z)\over f'(z)}\right)^2 \end{aligned} \]

  • \(\{f,z\}:=(Sf)(z)\)



뫼비우스 변환

  • \(F(z)=\frac{af(z)+b}{cf(z)+d}\) 일 때, \(\{f,z\}=\{F,z\}\) 가 성립한다
  • \(\{f,z\}=0\) 이면, \(f(z)=\frac{az+b}{cz+d}\)



이계 선형 미분방정식

  • 다음 형태의 이계 선형 미분방정식을 생각하자\[u''(z)+P(z)u(z)=0\]
  • \(u_1(z), u_2(z)\) 가 이 미분방정식의 일차독립인 두 해이면, \(w(z)=\frac{u_1(z)}{u_2(z)}\) 는 다음 미분방정식의 해이다\[\{w,z\}=2P(z)\]



슈바르츠 s-함수

(정리)

복소상반평면을 \(\alpha\pi,\beta\pi,\gamma\pi\) 를 세 각으로 갖는 삼각형으로 보내는 해석함수 \(w=s(z)\)는 다음 초기하미분방정식\(z(1-z)y''+(c-(a+b+1)z)y'-aby = 0\) 의 선형독립인 두 해, \(y_1(z),y_2(z)\) 의 비로 표현할 수 있다. 즉 \(w=\frac{y_1(z)}{y_2(z)}\) 이다.

여기서 \(\alpha =1-c,\beta =a-b,\gamma =-a-b+c\).


(증명)

\(P(z)=\frac{1}{4}\left(\frac{1-\alpha ^2}{z^2}+\frac{1-\gamma ^2}{(z-1)^2}+\frac{\alpha ^2+\gamma ^2-\beta ^2-1}{z(z-1)}\right)\) 라 하자.

원하는 해석함수는 미분방정식 \(\{w,z\}=2P(z)\)의 해이다.

위에서 서술한대로

\(u''(z)+P(z)u(z)=0\)의 선형독립인 두 해 \(u_1(z), u_2(z)\)에 대하여, \(w(z)=\frac{u_1(z)}{u_2(z)}\) 로 표현할 수 있다.


이계 선형 미분방정식 에서 얻은 결과에 따라, 미분방정식 \(u''(z)+P(z)u(z)=0\)를 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations) 형태로 변형할 수 있다.

따라서 \(z(1-z)y''+(c-(a+b+1)z)y'-aby = 0\) 의 선형독립인 두 해, \(y_1(z),y_2(z)\)에 대하여, \(w(z)=\frac{y_1(z)}{y_2(z)}\)로 쓸 수 있다. ■





메모


관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스



사전 형태의 자료



관련논문

  • Tamanoi, Hirotaka. “Higher Schwarzian Operators and Combinatorics of the Schwarzian Derivative.” Mathematische Annalen 305, no. 1 (1996): 127–151. doi:10.1007/BF01444214.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'hypergeometric'}, {'LEMMA': 'function'}]
  • [{'LOWER': 'gaussian'}, {'LOWER': 'hypergeometric'}, {'LEMMA': 'function'}]
  • [{'LOWER': 'ordinary'}, {'LOWER': 'hypergeometric'}, {'LEMMA': 'function'}]
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