"슈테판-볼츠만 법칙"의 두 판 사이의 차이

2010년 6월 8일 (화) 11:56 판

중심이항계수(central binomial coefficient)
[[중심이항계수(central binomial coefficient)|]]\(\zeta(4) = \frac{36}{17} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}\)
폴리로그 함수(polylogarithm)를 통하여 이해가능

\(2(\sin^{-1} x)^2=\sum_{n=1}^{\finfty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\)

를 이용하여, 다음을 증명할 수 있다

\(I=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{u}(\sin^{-1} x)^2\frac{dx}{x}\frac{du}{u}\)

한편

\(I=\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{u}(\sin^{-1} x)^2\frac{dx}{x}\frac{du}{u}=2\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx\)

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 * [[중심이항계수(central binomial coefficient)]]<br>[[중심이항계수(central binomial coefficient)|]]<math>\zeta(4) = \frac{36}{17} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}</math><br>
-* [[#]]<br>
+* [[폴리로그 함수(polylogarithm)]]를 통하여 이해가능<br>
+<math>2(\sin^{-1} x)^2=\sum_{n=1}^{\finfty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}</math>
+를 이용하여, 다음을 증명할 수 있다
+<math>I=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{u}(\sin^{-1} x)^2\frac{dx}{x}\frac{du}{u}</math>
+한편
+<math>I=\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{u}(\sin^{-1} x)^2\frac{dx}{x}\frac{du}{u}=2\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx</math>