스미스-민코프스키-지겔 질량 공식

개요

• 주어진 양의 정부호 이차형식 $q$에 대하여 방정식 $q(x)=n$의 해의 개수 $r(q,n)$를 구하는 것은 정수론의 오래된 문제
• 지겔의 질량 공식은 $q$와 같은 genus에 속하는 이차형식 $q'$들에 대한 $r(q',n)$값의 가중치평균(weighted average)을 모든 소수에 대한 local densities의 곱으로 표현함
• local densities : measure the number of congruence solutions of the equation modulo high powers of the respective prime.

스미스-민코프스키-지겔 질량 공식

• $n\geq 2$ 자연수
• $f$ : 양의 정부호인 $n$ 차원 정수계수 이차형식
• ${\rm gen}(f)$ : $f$와 같은 genus에 속하는 이차형식의 동치류
• $\rm{Aut}(\cdot)$ : 자기동형군
• $f$의 질량 $m(f)$를 다음과 같이 정의

$$ m(f):=\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|} $$

정리 (스미스-민코프스키-지겔)

다음이 성립한다 \[m(f) = 2\pi^{-n(n+1)/4}\prod_{j=1}^n\Gamma(j/2)\prod_{p\text{ prime}}2m_p(f)\] 여기서 충분히 큰 $r$에 대하여, \[m_p(f) = {p^{(rn(n-1)+s(n+1))/2}\over N(p^r)}\]

• $p^s$는 $f$의 판별식을 나누는 p의 가장 큰 거듭제곱,
• $N(p^r)$은 다음을 만족하는 $\mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z}$위의 $n\times n$ 행렬의 개수

$$X^tAX \equiv A\ \bmod\ p^r$$

예

• n차원 even unimodular 격자의 경우의 질량 공식은 다음과 같이 표현된다

\[\sum_{\Lambda}{1\over|\operatorname{Aut}(\Lambda)|} = {|B_{n/2}|\over n}\prod_{1\le j< n/2}{|B_{2j}|\over 4j}\label{evenu} \]

여기서 $B_k$는 베르누이 수

8차원

• 8차원 even unimodular 격자는 E8격자 뿐이이며 질량 공식 \ref{evenu}의 우변은 다음과 같다

$$ \frac{1}{696729600} $$

• 696729600은 E8격자의 자기동형군의 크기이며, 바일군 $W(E_8)$의 크기이기도 하다

16차원

• 16차원에서 \ref{evenu}의 좌변과 우변은 다음과 같다

$$ \frac{1}{2\cdot 696729600^2}+\frac{1}{2^{15}16!}=\frac{691}{277667181515243520000} $$

24차원

• \ref{evenu}의 값은 다음과 같다

$$ \frac{1027637932586061520960267}{129477933340026851560636148613120000000} $$

지겔-베유 공식

• 지겔-베유 공식은 지겔의 결과(1951, 1952)에 대한 베유의 확장(1964, 1965)
• 같은 genus에 속하는 격자의 세타함수에 대한 가중치평균을 아이젠슈타인 급수로 표현함
• rank가 $n$인 격자 $L$과 정수 $g\leq n$를 고정
• 지겔 세타 급수는 지겔 상반 공간 $\mathbb{H}_g=\{Z\in {\rm Mat}(g,\C)\mid Z=Z^t,\ {\rm Im}(Z)>0\}$ 정의된 함수로

$$\Theta^{(g)}_L(Z)=\sum_{v_1,\,\ldots,\,v_g\in L}e^{2\pi i\,{\rm tr} ((v_1,\ldots,v_g)(v_1,\ldots,v_g)^tZ) }.$$

• ${\rm Sp}(g,\Z)$의 합동부분군 $\Gamma$에 대해 weight이 $n/2$인 지겔 모듈라 형식

정리

$$\left( \sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{\Theta_M^{(g)}(Z)}{|{\rm Aut}(M)|}\right)\,\cdot\, \left(\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|}\right)^{-1}= E^{(g)}(Z),$$ 여기서 $E^{(g)}(Z)$는 $\Gamma$에 대한 아이젠슈타인 급수이며 $L$의 genus에만 의존

• 지겔-베유 공식 항목 참조

메모

• Mackey - Unitary Group Representation in Physics, Probability and Number Theory, page 326

수학용어번역

• Maßformel - measure formula
• mass formula는 잘못된 번역이므로, 질량 공식도 역시 잘못된 번역

관련된 항목들

• 16차원 짝수 자기쌍대 격자
• 24차원 짝수 자기쌍대 격자
• 리만 세타 함수
• 지겔 모듈라 형식

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxWGUybjFwNkw5dVE/edit
• http://math.berkeley.edu/~reb/papers/siegel/

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Smith–Minkowski–Siegel_mass_formula
• http://en.wikipedia.org/wiki/Siegel–Weil_formula
• http://en.wikipedia.org/wiki/Weil_conjecture_on_Tamagawa_numbers

리뷰, 에세이, 강의노트

• Integral quadratic forms and volume formulas, UBC graduate seminar, winter 2011
• Jonathan Hanke, Quadratic Forms and Automorphic Forms
• Shimura, Goro. 2006. “Quadratic Diophantine Equations, the Class Number, and the Mass Formula.” Bulletin of the American Mathematical Society 43 (3): 285–304. doi:10.1090/S0273-0979-06-01107-4.
• Haris, S. J. 1980. “Number Theoretical Developments Arising from the Siegel Formula.” Bulletin of the American Mathematical Society 2 (3): 417–33. doi:10.1090/S0273-0979-1980-14754-0.
• Siegel's integral
• Kimball Martin, lecture notes for number theory
  • chapter 7. Quadratic Forms
• Finch, Minkowski-Siegel Mass Constants

관련논문

• Cho, Sungmun. “Group Schemes and Local Densities of Ramified Hermitian Lattices in Residue Characteristic 2 Part I.” arXiv:1210.7894 [math], October 29, 2012. http://arxiv.org/abs/1210.7894.
• Cho, Sungmun. ‘Group Schemes and Local Densities of Quadratic Lattices in Residue Characteristic 2’. Compositio Mathematica, 5 December 2014, 1–35. doi:10.1112/S0010437X14007829.
• Eskin, Alex, Zeév Rudnick, and Peter Sarnak. "A proof of Siegel's weight formula." International Mathematics Research Notices 1991.5 (1991): 65-69. http://www.math.tau.ac.il/~rudnick/papers/siegelmass.pdf
• Conway, J. H., and N. J. A. Sloane. “Low-Dimensional Lattices. IV. The Mass Formula.” Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences 419, no. 1857 (October 8, 1988): 259–86. doi:10.1098/rspa.1988.0107.
• Siegel, Carl Ludwig. “Uber Die Analytische Theorie Der Quadratischen Formen.” The Annals of Mathematics 36, no. 3 (July 1935): 527. doi:10.2307/1968644.
• Minkowski, Hermann. 1882. Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen mit ganzzahligen Koeffizienten
• Smith, HJ Stephen. "On the orders and genera of quadratic forms containing more than three indeterminates." Proceedings of the Royal Society of London 16 (1867): 197-208.