"스털링 공식"의 두 판 사이의 차이

2009년 5월 1일 (금) 13:53 판

\( n! \approx \sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^{n}\)

좀더 정확히는 다음과 같이 주어짐.
\( n!=\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n \left( 1 +{1\over12n} +{1\over288n^2} -{139\over51840n^3} -{571\over2488320n^4} + \cdots \right)\)

http://pythagoras0.springnote.com/pages/2637804에서 유도된다.
- \(\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \int^n_0f(x)\,dx+B_1(f(n)-f(0))+\sum_{k=2}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R\)
- \(B_k\) 는 베르누이 수, 오차항 \(\left|R\right|\leq\frac{2}{(2\pi)^{2(p+1)}}\int_0^n\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx\) 로 주어짐.
- \(f(x) = \ln(1+x)\) 에서 유도. \(\ln(n!)= \sum_{k = 1}^{n-1}\ln(1+x)\) 이며, 오차항 \(R\) 은 0 으로 수렴한다.

@@ 5번째 줄: / 5번째 줄: @@
 <math> n! \approx \sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^{n}</math>
-*  좀더 정확히는 다음과 같이 주어짐.<br><math>  n!=\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n   \left(    1    +{1\over12n}    +{1\over288n^2}    -{139\over51840n^3}    -{571\over2488320n^4}    + \cdots   \right)</math><br>  <br>
+*  좀더 정확히는 다음과 같이 주어짐.<br><math>  n!=\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n   \left(    1    +{1\over12n}    +{1\over288n^2}    -{139\over51840n^3}    -{571\over2488320n^4}    + \cdots   \right)</math><br>
+<h5>증명</h5>
 * [[오일러-맥클로린 공식|http://pythagoras0.springnote.com/pages/2637804]]에서 유도된다.<br>
 ** <math>\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \int^n_0f(x)\,dx+B_1(f(n)-f(0))+\sum_{k=2}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R</math><br>
 ** <math>B_k</math> 는 베르누이 수, 오차항  <math>\left|R\right|\leq\frac{2}{(2\pi)^{2(p+1)}}\int_0^n\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx</math> 로 주어짐.<br>
 ** <math>f(x) = \ln(1+x)</math> 에서 유도. <math>\ln(n!)= \sum_{k = 1}^{n-1}\ln(1+x)</math> 이며, 오차항 <math>R</math> 은 0 으로 수렴한다.<br>