스털링 공식

수학노트
Wiessen (토론 | 기여)님의 2009년 5월 3일 (일) 19:21 판
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간단한 소개
  • 팩토리얼의 근사식

\( n! \approx \sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^{n}\)

  • 좀더 정확히는 다음과 같이 주어짐.
    \( n!=\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n \left( 1 +{1\over12n} +{1\over288n^2} -{139\over51840n^3} -{571\over2488320n^4} + \cdots \right)\)

 

증명
  • http://pythagoras0.springnote.com/pages/2637804에서 유도된다.
    • \(\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \int^n_0f(x)\,dx+B_1(f(n)-f(0))+\sum_{k=2}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R\)
    • \(B_k\) 는 베르누이 수, 오차항  \(\left|R\right|\leq\frac{2}{(2\pi)^{2(p+1)}}\int_0^n\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx\) 로 주어짐.
    • \(f(x) = \ln(1+x)\) 에서 유도. \(\ln(n!)= \sum_{k = 1}^{n-1}\ln(1+x)\) 이며, 오차항 \(R\) 은 0 으로 수렴한다.

 

 

재미있는 사실

계수 \(\sqrt{2 \pi}\) ㄴ

 

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