스토크스 정리

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여) 사용자의 2014년 1월 10일 (금) 04:23 판

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개요

  • 스토크스 정리
  • 유향곡면 S 위에 정의된 벡터장 F 에 대하여 다음이 성립한다\[\iint_S\ (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\,d\mathbf{S}=\int_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf{r}\]
  • cycle위에서의 2-form 과 1-form의 적분으로 서술할 수 있다




미분형식을 통한 서술

  • 3차원의 매개곡면 S \[\mathbf{x} (s,t)=( x(s,t), y(s,t), z(s,t))\], \((s,t)\in D\)
  • 미분형식과 미분형식의 적분에 대해서는 미분형식 (differential forms)과 multilinear algebra 항목을 참조
  • 1-형식 \(\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz\)는 벡터장 \(\mathbf{F}=(P,Q,R)\)과 대응
  • 2-형식 \(d\omega= (R_y-Q_x)\, dy \wedge dz + (P_z-R_x)\, dz \wedge dx+(Q_y-P_x)\, dx \wedge dy\) 는 벡터장 \(\nabla\times\mathbf{F}=(R_y-Q_x,P_z-R_x,Q_y-P_x)\)과 대응
  • 스토크스 정리\[\int_S d\omega = \int_{\partial S} \omega\] (\(\int_S d\omega=\iint_S\ (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\,d\mathbf{S}=\int_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf{r}=\int_{\partial S} \omega\))



역사



메모



관련된 항목들


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