스펙트럼 제타 함수

수학노트
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개요

  • 컴팩트 smooth 리만 다양체 $M$ 에 정의된 라플라시안(Laplacian) $\Delta$의 스펙트럼을 이해하기 위한 해석적 도구
  • $-\Delta$ 는 positive이고, 스펙트럼은 다음과 같이 주어짐

$$0=\lambda_0<\lambda_1<\lambda_2<\cdots, \lim_{j\to \infty}\lambda_j=\infty$$

  • $n_j$를 $\lambda_j$의 고유벡터의 차원이라 하면, 스펙트럼 제타함수는 다음과 같이 정의

$$ \zeta_M(s)=\sum_{j=1}^{\infty}\frac{n_j}{\lambda_j^s} $$

  • $j\to \infty$일 때, $\lambda_{j}\sim j^{2/\dim M}$ 이므로, $\Re s>\frac{1}{2}\dim M$에서 수렴
  • 전체 복소평면으로 meromorphic 확장


라플라시안의 행렬식

  • $\det -\Delta=\prod_{j=1}^{\infty}\lambda_j^{n_j}:=e^{-\zeta'_M(0)}$


  • $\tau=x+iy\in \mathbb{C}$가 $y>0$를 만족
  • $M=\mathbb{C}/L_{\tau}$ where $L_{\tau}=\{a+b\tau|a,b\in \mathbb{Z}\}$ 은 복소 타원 곡선
  • 스펙트럼은 다음과 같이 주어짐 (모든 j에 대하여, $n_j=1$)

$$ \{\lambda_{mn}:=\frac{4\pi^2}{y^2}|m+n\tau|^2\}_{m,n\in \mathbb{Z}} $$

  • 스펙트럼 제타함수는 다음과 같다

$$ \zeta_{M}(s)=\frac{y^s}{(4\pi^2)^s}E(s,\tau) $$ 여기서 $E(\tau,s)$는 아이젠슈타인 급수 \[E(\tau,s)=\sum_{(m,n)\ne (0,0)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}}\]



관련된 항목들

수학용어번역

  • spectral - 대한수학회 수학용어집


관련논문

  • Minakshisundaram, S.,å. Pleijel. 1949. “Some properties of the eigenfunctions of the Laplace-Operator on Riemannian manifolds”. Canadian Journal of Mathematics 1 (3) (6월 1): 242–256. doi:10.4153/CJM-1949-021-5.