실체에 이르는 길(로저 펜로즈)

수학노트
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서평


연습문제 풀이


목표로 삼을 만한 주요 표현

  • "according to modern physics, all physical interactions are governed by ‘gauge connections’ " (chapter 13)
  • 이 표현 하나를 이해하기 위해서는 다음과 같은 수학용어에 대한 기본적인 이해가 필요하다
    • (differentiable) manifold
    • calculus on manifold
    • tensor field
    • vector field
    • differential form
    • fiber bundle
    • vector bundle
    • principal bundle
    • connection on a bundle
    • spinor
    • representation theory of Lie groups and Lie algebras


preface

  • 분수와 equivalence class 의 예


1 The roots of science

  • the main thrust of this book has to do with the first of these mysteries: the remarkable relationship between mathematics and the actual behaviour of the physical world.


2 An ancient theorem and a modern question


3 Kinds of number in the physical world

  • 실수
  • p-adic number 를 안다면, 실수에 대해 더 많은 것을 생각할 수 있다
  • 정수와 반입자
  • In fact, according to 20th-century physics, there is now a certain sense in which it is meaningful to refer to a negative number of physical entities.
  • 유리수와 물리의 관계는 아직 unclear


4 Magical complex numbers

  • 복소수 소개


5 Geometry of logarithms, powers, and roots

6 Real-number calculus

7 Complex-number calculus

8 Riemann surfaces and complex mappings

  • 복소함수와 리만곡면
  • 역사적으로 볼 때, 다양체 개념의 발원지
  • 타원적분론은 19세기 수학의 주요 동력이었으며, 리만은 타원적분론이 토러스 위에 정의된 복소함수론임을 깨닫게 된다


9 Fourier decomposition and hyperfunctions

10 Surfaces

11 Hypercomplex numbers

  • spinor 개념을 이해하기 위해서는 주의깊게 읽어야 하는 챕터
  • 그라스만 대수를 다루기 위한 매스매티카 패키지
  • Grassmann Algebra: Exploring extended vector algebra with Mathematica


12 Manifolds of n dimensions

  • 물리학에서의 예로는 configuration space, phase space, spacetime 등
  • 기하학의 주요 대상이 되는 ‘공간’에 해당하는 개념
  • 다양체라 하며, 다양체에 메트릭이 주어지면 리만다양체 (8챕터의 리만곡면과는 또 다른 개념)라 부르며, 리만다양체는 일반상대론을 전개하기 위한 필수적인 개념
  • 게이지 이론을 전개하기 위해서는 fiber bundle 의 개념이 필수적인데, 다양체의 개념이 필요함
  • 펜로즈는 미분형식의 개념을 설명하는데 많은 페이지를 할애하고 있음
  • index 의 위치에 대한 convention
  • form 은 아래, vector 는 위
  • \(S=\sum S_a f^a\)
  • \(T=\sum T_{bc} f^a\wedge f^b\)
  • \(S\wedge T=\sum S_{[a}T_{bc]} f^a\wedge f^b\wedge f^c\)


13 Symmetry groups

  • "according to modern physics, all physical interactions are governed by ‘gauge connections’ " 이 한마디를 위해 몇백페이지가 훌쩍
  • 게이지 이론은 principal bundle 이라는 군과 관계된 구조가 더 주어진 fiber bundle 의 언어로 표현됨
  • 물리학에서의 군
  • 양자역학
  • 상대론
  • 입자물리 (게이지 이론)


14 Calculus on manifolds

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