실체에 이르는 길(로저 펜로즈)

서평

• http://scienceon.hani.co.kr/archives/13582
• 프랭크 윌첵 http://libgen.info/view.php?id=218110

연습문제 풀이

• http://www.roadtoreality.info/viewforum.php?f=19
• http://camoo.freeshell.org/roadtoreality.html

목표로 삼을 만한 주요 표현

• "according to modern physics, all physical interactions are governed by ‘gauge connections’ " (chapter 13)
• 이 표현 하나를 이해하기 위해서는 다음과 같은 수학용어에 대한 기본적인 이해가 필요하다
  • (differentiable) manifold
  • calculus on manifold
  • tensor field
  • vector field
  • differential form
  • fiber bundle
  • vector bundle
  • principal bundle
  • connection on a bundle
  • spinor
  • representation theory of Lie groups and Lie algebras

preface

• 분수와 equivalence class 의 예

1 The roots of science

• the main thrust of this book has to do with the first of these mysteries: the remarkable relationship between mathematics and the actual behaviour of the physical world.

2 An ancient theorem and a modern question

• 피타고라스의 정리
• 비유클리드 기하학
• 곡면의 미분기하학과 리만기하학
• homogeneity (every point the same) and isotropy (every direction the same),

3 Kinds of number in the physical world

• 실수
• p-adic number 를 안다면, 실수에 대해 더 많은 것을 생각할 수 있다
• 정수와 반입자
• In fact, according to 20th-century physics, there is now a certain sense in which it is meaningful to refer to a negative number of physical entities.
• 유리수와 물리의 관계는 아직 unclear

4 Magical complex numbers

• 복소수 소개

8 Riemann surfaces and complex mappings

• 복소함수와 리만곡면
• 역사적으로 볼 때, 다양체 개념의 발원지
• 타원적분론은 19세기 수학의 주요 동력이었으며, 리만은 타원적분론이 토러스 위에 정의된 복소함수론임을 깨닫게 된다

11 Hypercomplex numbers

• spinor 개념을 이해하기 위해서는 주의깊게 읽어야 하는 챕터
• 그라스만 대수를 다루기 위한 매스매티카 패키지
• Grassmann Algebra: Exploring extended vector algebra with Mathematica

12 Manifolds of n dimensions

• 물리학에서의 예로는 configuration space, phase space, spacetime 등
• 기하학의 주요 대상이 되는 ‘공간’에 해당하는 개념
• 다양체라 하며, 다양체에 메트릭이 주어지면 리만다양체 (8챕터의 리만곡면과는 또 다른 개념)라 부르며, 리만다양체는 일반상대론을 전개하기 위한 필수적인 개념
• 게이지 이론을 전개하기 위해서는 fiber bundle 의 개념이 필수적인데, 다양체의 개념이 필요함
• 펜로즈는 미분형식의 개념을 설명하는데 많은 페이지를 할애하고 있음
• index 의 위치에 대한 convention
• form 은 아래, vector 는 위
• \(S=\sum S_a f^a\)
• \(T=\sum T_{bc} f^a\wedge f^b\)
• \(S\wedge T=\sum S_{[a}T_{bc]} f^a\wedge f^b\wedge f^c\)

13 Symmetry groups

• "according to modern physics, all physical interactions are governed by ‘gauge connections’ " 이 한마디를 위해 몇백페이지가 훌쩍
• 게이지 이론은 principal bundle 이라는 군과 관계된 구조가 더 주어진 fiber bundle 의 언어로 표현됨
• 물리학에서의 군
• 양자역학
• 상대론
• 입자물리 (게이지 이론)

관련된 항목들

• Deep Down Things: The Breathtaking Beauty of Particle Physics