"쌍곡기하학"의 두 판 사이의 차이

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* 한 직선<math>\ell</math>과 그 직선 위에 있지 않은 한 점<math>P</math>가  주어져 있을때, <math>P</math>를 지나는 <math>\ell</math>과 평행한 직선이 무수히 많이 존재
 
* 한 직선<math>\ell</math>과 그 직선 위에 있지 않은 한 점<math>P</math>가  주어져 있을때, <math>P</math>를 지나는 <math>\ell</math>과 평행한 직선이 무수히 많이 존재
 
* 곡률이 음인 공간에서의 기하학을 지칭하는 말
 
* 곡률이 음인 공간에서의 기하학을 지칭하는 말
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* 곡률이 음인 공간은 3차원 상에서 각 점이 말안장처럼 보이게 되는데, 일엽쌍곡면이 국소적으로 말안장처럼 보이므로, 쌍
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* 곡률이 음인 공간은 3차원 상에서 각 점이 말안장처럼 보이게 된다
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* 쌍곡면은 쌍곡기하학의 모델을 제공하므로 쌍곡기하학이라 부르게 되었다
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<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
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<h5>관련도서</h5>
  
 
* [http://www.amazon.com/Gateway-Modern-Geometry-Poincare-Half-Plane/dp/0763753815/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1259658855&sr=1-1 Poincare Half-Plane (A Gateway to Modern Geometry)]<br>
 
* [http://www.amazon.com/Gateway-Modern-Geometry-Poincare-Half-Plane/dp/0763753815/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1259658855&sr=1-1 Poincare Half-Plane (A Gateway to Modern Geometry)]<br>
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*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
 
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%EC%8C%8D%EA%B3%A1%EA%B8%B0%ED%95%98 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=쌍곡기하]
 
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2010년 12월 30일 (목) 15:02 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 일반적으로 비유클리드 기하학을 말할때 지칭하는 기하학
  • 한 직선\(\ell\)과 그 직선 위에 있지 않은 한 점\(P\)가  주어져 있을때, \(P\)를 지나는 \(\ell\)과 평행한 직선이 무수히 많이 존재
  • 곡률이 음인 공간에서의 기하학을 지칭하는 말
  • 곡률이 음인 공간은 3차원 상에서 각 점이 말안장처럼 보이게 된다
  • 쌍곡면은 쌍곡기하학의 모델을 제공하므로 쌍곡기하학이라 부르게 되었다

 

 

 

포앵카레 상반평면 모델

 

 

원반 모델

\(U=\{z=x+iy:|z|=\sqrt{x^2+y^2} < 1 \}\)

\(ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{(1-(x^2+y^2))^2}=\frac{dz\,d\overline{z}}{(1-|z|^2)^2}\)

\(dA=\frac{dx\,dy}{(1-(x^2+y^2))^2}=\frac{dx\,dy}{(1-|z|^2)^2}\)

두 점 사이의 거리

\(z_1,z_2 \in U\)

\(\rho(z_1,z_2)=2\tanh^{-1}\left|\frac{z_1-z_2}{1-z_1\overline{z_2}}\right|\)

 

[/pages/3065168/attachments/2600961 H2PlaneLines_med.jpg]

 

 

쌍곡기하학의 테셀레이션

 

평면기하학 쌍곡기하학
p4m p3m p6m      
*442 *333 *632 *732 *542 *433
[[]]


(4 4 2)

[[]]


(3 3 3)

[[]]


(6 3 2)

[[]]


(7 3 2)

[[]]


(5 4 2)

[[]]


(4 3 3)

(7 3 2)라는 것은 그 삼각형의 세 각이 각각

\(\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\)

라는 것을 말한다. 이 세각의 크기를 모두 더하면,

\(\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{41\pi}{42}\)

가 되어, 180도보다 작게 된다. 쌍곡기하학에서의 곡률은 음수이기 때문에 나타나는 현상이다.

 

 

역사
  • 1824년 가우스의 쌍곡기하학에 대한 연구
  • 1829년 로바체프스키가 쌍곡기하학에 대한 출판
  • 1832년 볼리아이
  • 1868년 벨트라미는 비유클리드 기하학이 음의 곡률을 갖는 곡면위의 기하학임을 보임
  • [Milnor1982]
  • 수학사연표

 

 

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