쌍곡기하학

개요

• 일반적으로 비유클리드 기하학을 말할때 지칭하는 기하학
• 쌍곡평면에서는 한 직선\(\ell\)과 그 직선 위에 있지 않은 한 점\(P\)가 주어져 있을때, \(P\)를 지나는 \(\ell\)과 평행한 직선이 무수히 많이 존재
• 곡률이 음인 공간에서의 기하학을 지칭하는 말
• 곡률이 음인 공간은 3차원 상에서 각 점이 말안장처럼 보이게 된다
• 쌍곡면은 쌍곡기하학의 모델을 제공하므로 쌍곡기하학이라 부르게 되었다

쌍곡기하학의 두가지 모델

푸앵카레 상반평면 모델

• \(\mathbb{H}^2=\{z=x+iy\in\mathbb{C}|y>0\}\)\[ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}=\frac{dzd\overline{z}}{y^2}\]
• 푸앵카레 상반평면 모델에서 자세히 다룸

푸앵카레 unit disk 모델

• 푸앵카레 unit disk 모델

\[U=\{z=x+iy:|z|=\sqrt{x^2+y^2} < 1 \}\] \[ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{(1-(x^2+y^2))^2}=\frac{dz\,d\overline{z}}{(1-|z|^2)^2}\]

쌍곡기하학의 테셀레이션

• (2,3,7)-삼각형을 이용한 테셀레이션
• (2,3,7)이란 삼각형의 세 각이 각각 \[\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\]

라는 것을 말한다. 이 세각의 크기를 모두 더하면,\[\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{41\pi}{42}\] 가 되어, 180도보다 작게 됨을 알 수 있다. 쌍곡기하학에서의 곡률은 음수이기 때문에 나타나는 현상이다.

• 2차원 쌍곡기하학의 테셀레이션 항목 참조

역사

• 1824년 가우스의 쌍곡기하학에 대한 연구
• 1829년 로바체프스키 쌍곡기하학에 대한 출판
• 1832년 볼리아이
• 1868년 벨트라미는 비유클리드 기하학이 음의 곡률을 갖는 곡면위의 기하학임을 보임
• [Milnor1982]
• 수학사 연표

관련된 항목들

• 미분기하학
• 뫼비우스 변환군과 기하학
• 로바체프스키와 클라우센 함수
• 사영기하학과 교차비
• fundamental domain의 면적에 대한 지겔의 정리
• 모듈라 군, j-invariant and the singular moduli모듈라 군
  • 모듈라 군(modular group)
• 수학과 미술

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré_half-plane_model

리뷰, 에세이, 강의노트

• Mahan Mj, What is hyperbolic geometry? Asia Pacific Mathematics Newsletter 2013, http://www.asiapacific-mathnews.com/03/0301/0001_0005.pdf
• James W. Cannon, William J. Floyd, Richard Kenyon, and Walter R. Parry, Hyperbolic Geometry, 1997, MSRI Publications, volume 31.
• Shenitzer, Abe. “How Hyperbolic Geometry Became Respectable.” The American Mathematical Monthly 101, no. 5 (May 1, 1994): 464–70. doi:10.2307/2974912.
• [Milnor1982], John W. Milnor Hyperbolic geometry: The first 150 years, Journal: Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1982), 9-24.

관련도서

• Poincare Half-Plane (A Gateway to Modern Geometry)
  • S. Stahl, Jones & Bartlett Publishers; 2 edition (November 25, 2007)
• Sources of Hyperbolic Geometry
  • John Stillwell, American Mathemataical Society (December 1996)

블로그

• 피타고라스의 창
  • 비유클리드 기하학 입문(1) : 에셔의 CIRCLE LIMIT 시리즈
  • 비유클리드 기하학 입문(2) : 휘어진 공간
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메타데이터

위키데이터

• ID : Q2534886

Spacy 패턴 목록

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