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==개요==
  
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* 일반적으로 비유클리드 기하학을 말할때 지칭하는 기하학
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* 쌍곡평면에서는 한 직선<math>\ell</math>과 그 직선 위에 있지 않은 한 점<math>P</math>가  주어져 있을때, <math>P</math>를 지나는 <math>\ell</math>과 평행한 직선이 무수히 많이 존재
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* 곡률이 음인 공간에서의 기하학을 지칭하는 말
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* 곡률이 음인 공간은 3차원 상에서 각 점이 말안장처럼 보이게 된다
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* 쌍곡면은 쌍곡기하학의 모델을 제공하므로 쌍곡기하학이라 부르게 되었다
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==쌍곡기하학의 두가지 모델==
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====푸앵카레 상반평면 모델====
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* <math>\mathbb{H}^2=\{z=x+iy\in\mathbb{C}|y>0\}</math>:<math>ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}=\frac{dzd\overline{z}}{y^2}</math>
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* [[푸앵카레 상반평면 모델]]에서 자세히 다룸
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====푸앵카레 unit disk 모델====
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* [[푸앵카레 unit disk 모델]]
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:<math>U=\{z=x+iy:|z|=\sqrt{x^2+y^2} < 1 \}</math>
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:<math>ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{(1-(x^2+y^2))^2}=\frac{dz\,d\overline{z}}{(1-|z|^2)^2}</math>
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==쌍곡기하학의 테셀레이션==
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* (2,3,7)-삼각형을 이용한 테셀레이션
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* (2,3,7)이란 삼각형의 세 각이 각각 :<math>\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}</math>
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라는 것을 말한다. 이 세각의 크기를 모두 더하면,:<math>\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{41\pi}{42}</math>
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가 되어, 180도보다 작게 됨을 알 수 있다. '''쌍곡기하학에서의 곡률은 음수이기 때문에 나타나는 현상이다.'''
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[[파일:3065168-H2PlaneLines_med.jpg]]
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* [[2차원 쌍곡기하학의 테셀레이션]] 항목 참조
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==역사==
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* 1824년 가우스의 쌍곡기하학에 대한 연구
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* 1829년 로바체프스키 [[쌍곡기하학]]에 대한 출판
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* 1832년 볼리아이
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* 1868년 벨트라미는 비유클리드 기하학이 음의 곡률을 갖는 곡면위의 기하학임을 보임
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* '''[Milnor1982]'''
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* [[수학사 연표]]
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==관련된 항목들==
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* [[미분기하학]]
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* [[뫼비우스 변환군과 기하학]]
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* [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]]
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* [[교차비(cross ratio)|사영기하학과 교차비]]
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* [[fundamental domain의 면적에 대한 지겔의 정리]]
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* [[모듈라 군, j-invariant and the singular moduli]][[모듈라 군, j-invariant and the singular moduli|모듈라 군]]
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** [[모듈라 군(modular group)]]
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* [[수학과 미술]]
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==사전 형태의 자료==
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré_half-plane_model
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* Mahan Mj, What is hyperbolic geometry? Asia Pacific Mathematics Newsletter 2013, http://www.asiapacific-mathnews.com/03/0301/0001_0005.pdf
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* James W. Cannon, William J. Floyd, Richard Kenyon, and Walter R. Parry, [http://www.msri.org/communications/books/Book31/files/cannon.pdf Hyperbolic Geometry], 1997, MSRI Publications, volume 31.
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* Shenitzer, Abe. “How Hyperbolic Geometry Became Respectable.” The American Mathematical Monthly 101, no. 5 (May 1, 1994): 464–70. doi:10.2307/2974912.
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* '''[Milnor1982]''', John W. Milnor [http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183548588 Hyperbolic geometry: The first 150 years], Journal: Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1982), 9-24.
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==관련도서==
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* [http://www.amazon.com/Gateway-Modern-Geometry-Poincare-Half-Plane/dp/0763753815/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1259658855&sr=1-1 Poincare Half-Plane (A Gateway to Modern Geometry)]
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** S. Stahl, Jones & Bartlett Publishers; 2 edition (November 25, 2007)
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* [http://www.amazon.com/Sources-Hyperbolic-Geometry-History-Mathematics/dp/0821809229 Sources of Hyperbolic Geometry]
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** John Stillwell, American Mathemataical Society (December 1996)
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==블로그==
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*  피타고라스의 창
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** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/10/03/799 비유클리드 기하학 입문(1) : 에셔의 CIRCLE LIMIT 시리즈]
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** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/10/03/806 비유클리드 기하학 입문(2) : 휘어진 공간]
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** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/10/11/821 비유클리드 기하학 입문(3) : 콕세터가 들려주는 에셔]
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** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/10/22/836 비유클리드 기하학 입문(4) : 콕세터가 설명하는 반전(inversion)]
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** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/10/22/839 비유클리드 기하학 입문(5) : 반전에 반전 \[Ellipsis] 반전만 구백번\[Ellipsis]]
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** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/11/14/872 비유클리드 기하학 입문(6) : 세가지의 2차원 기하학]
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[[분류:쌍곡기하학]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q2534886 Q2534886]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'poincaré'}, {'LOWER': 'half'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'plane'}, {'LEMMA': 'model'}]
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* [{'LOWER': 'poincare'}, {'LOWER': 'half'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'plane'}, {'LEMMA': 'model'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:51 기준 최신판

개요

  • 일반적으로 비유클리드 기하학을 말할때 지칭하는 기하학
  • 쌍곡평면에서는 한 직선\(\ell\)과 그 직선 위에 있지 않은 한 점\(P\)가 주어져 있을때, \(P\)를 지나는 \(\ell\)과 평행한 직선이 무수히 많이 존재
  • 곡률이 음인 공간에서의 기하학을 지칭하는 말
  • 곡률이 음인 공간은 3차원 상에서 각 점이 말안장처럼 보이게 된다
  • 쌍곡면은 쌍곡기하학의 모델을 제공하므로 쌍곡기하학이라 부르게 되었다


쌍곡기하학의 두가지 모델

푸앵카레 상반평면 모델


푸앵카레 unit disk 모델

\[U=\{z=x+iy:|z|=\sqrt{x^2+y^2} < 1 \}\] \[ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{(1-(x^2+y^2))^2}=\frac{dz\,d\overline{z}}{(1-|z|^2)^2}\]

쌍곡기하학의 테셀레이션

  • (2,3,7)-삼각형을 이용한 테셀레이션
  • (2,3,7)이란 삼각형의 세 각이 각각 \[\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\]

라는 것을 말한다. 이 세각의 크기를 모두 더하면,\[\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{41\pi}{42}\] 가 되어, 180도보다 작게 됨을 알 수 있다. 쌍곡기하학에서의 곡률은 음수이기 때문에 나타나는 현상이다. 3065168-H2PlaneLines med.jpg


역사

  • 1824년 가우스의 쌍곡기하학에 대한 연구
  • 1829년 로바체프스키 쌍곡기하학에 대한 출판
  • 1832년 볼리아이
  • 1868년 벨트라미는 비유클리드 기하학이 음의 곡률을 갖는 곡면위의 기하학임을 보임
  • [Milnor1982]
  • 수학사 연표




관련된 항목들



사전 형태의 자료



리뷰, 에세이, 강의노트

관련도서



블로그

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'poincaré'}, {'LOWER': 'half'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'plane'}, {'LEMMA': 'model'}]
  • [{'LOWER': 'poincare'}, {'LOWER': 'half'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'plane'}, {'LEMMA': 'model'}]
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