쌍곡기하학

개요

일반적으로 비유클리드 기하학을 말할때 지칭하는 기하학
쌍곡평면에서는 한 직선\(\ell\)과 그 직선 위에 있지 않은 한 점\(P\)가 주어져 있을때, \(P\)를 지나는 \(\ell\)과 평행한 직선이 무수히 많이 존재
곡률이 음인 공간에서의 기하학을 지칭하는 말
곡률이 음인 공간은 3차원 상에서 각 점이 말안장처럼 보이게 된다
쌍곡면은 쌍곡기하학의 모델을 제공하므로 쌍곡기하학이라 부르게 되었다

\(\mathbb{H}^2=\{z=x+iy\in\mathbb{C}|y>0\}\)
\(ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}=\frac{dzd\overline{z}}{y^2}\)
푸앵카레 상반평면 모델에서 자세히 다룸

\(U=\{z=x+iy:|z|=\sqrt{x^2+y^2} < 1 \}\)

\(ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{(1-(x^2+y^2))^2}=\frac{dz\,d\overline{z}}{(1-|z|^2)^2}\)

\(dA=\frac{dx\,dy}{(1-(x^2+y^2))^2}=\frac{dx\,dy}{(1-|z|^2)^2}\)

두 점 사이의 거리

\(z_ 1,z_ 2 \in U\)

\(\rho(z_ 1,z_ 2)=2\tanh^{-1}\left|\frac{z_ 1-z_ 2}{1-z_ 1\overline{z_ 2}}\right|\)

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(7 3 2)라는 것은 그 삼각형의 세 각이 각각

\(\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\)

라는 것을 말한다. 이 세각의 크기를 모두 더하면,

\(\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{41\pi}{42}\)

가 되어, 180도보다 작게 된다. 쌍곡기하학에서의 곡률은 음수이기 때문에 나타나는 현상이다.