아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)

수학노트
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개요


정의

  • \(k>1\)인 정수에 대하여, 아이젠슈타인급수는 다음과 같이 정의되며 weight 2k인 모듈라 형식이 된다

\[G_{2k}(\tau) = \sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}\]

  • 만약 이 정의에서 반드시 짝수가 아닌 정수 \(k>1\)에 대해 \(G_k\)를 같은 방식으로 정의했다면, k가 홀수인 경우는 \(G_k=0\)가 됨. \(m+n\tau\)와 \(-m-n\tau\) 가 서로 상쇄
  • \(k=1\) 인 경우는 급수가 절대수렴하지 않아 따로 취급. 아래에서 별도로 서술함.
  • 다음과 같이 정규화시킨 아이젠슈타인급수도 많이 사용됨

\[E_{2}(\tau) = 1-24\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{1}(n)q^{n}\] \[E_4(\tau)= 1+ 240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^{n}\] \[E_6(\tau)=1- 504\sum_{n=1}^\infty \sigma_5(n) q^{n}\]


\[G_4(\tau)=\frac{\pi^4}{45} \left[ 1+ 240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^{n} \right]\] \[G_6(\tau)=\frac{2\pi^6}{945} \left[ 1- 504\sum_{n=1}^\infty \sigma_5(n) q^{n} \right]\]



모듈라 성질

\[G_{2k} \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{2k} G_{2k}(\tau)\]



푸리에 전개의 유도

  • 모듈라 형식이 되기 위해서는 cusp에서의 growth 조건 즉, \(\tau=i\infty\)에서의 푸리에 전개가 필요하며 이는 다음과 같이 주어짐
정리

\[G_{2k}(\tau) = 2\zeta(2k) \left(1+c_{2k}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{2k-1}(n)q^{n} \right)\] 여기서 \[ c_{2k} = \frac{(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)! \zeta(2k)} = \frac {-4k}{B_{2k}} = \frac {2}{\zeta(1-2k)},\\ \sigma_r(n)=\sum_{d|n}d^r \]


증명

\[ \begin{align} G_{2k}(\tau) &= \sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}\\ &=\sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}=\sum_{m\neq0} \frac{1}{m^{2k}} +\sum \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}} \\ &=\sum_{m\neq0} \frac{1}{m^{2k}} +\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}+\frac{1}{(m-n\tau )^{2k}} \\ &=\sum_{m\neq0} \frac{1}{m^{2k}} +2\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}} \end{align} \]

여기서 코탄젠트 항목에서 얻어진 다음 항등식을 이용하면, 푸리에 급수를 계산할 수 있다. \[\frac{1}{\tau}+\sum_{m\neq0}\frac{1}{\tau+m}-\frac{1}{m} = -\pi i (1+2\sum_{r=1}^{\infty}e^{2\pi i r \tau})\] 미분을 반복하면, \[-\frac{1}{\tau^2}-\sum_{m\neq0}\frac{1}{(\tau+m)^2 }=-\sum_{m}\frac{1}{(\tau+m)^2 }= -(2\pi i)^2 \sum_{r=1}^{\infty}re^{2\pi i r \tau}\] \[2\sum_{m}\frac{1}{(\tau+m)^3 }= -(2\pi i)^3 \sum_{r=1}^{\infty}r^2e^{2\pi i r \tau}\] \[-3! \sum_{m}\frac{1}{(\tau+m)^4 }= -(2\pi i)^4 \sum_{r=1}^{\infty}r^3e^{2\pi i r \tau}\] ■

정규 아이젠슈타인급수

  • 상수항이 1이 되도록, 상수를 곱해서 얻어짐

\[E_{2k}(\tau)=\frac{G_{2k}(\tau)}{2\zeta (2k)}= 1+\frac {2}{\zeta(1-2k)}\left(\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{2k-1}(n)q^{n} \right)= 1-\frac {4k}{B_{2k}}\left(\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{2k-1}(n)q^{n} \right)\] $$ \begin{aligned} E_4(\tau)&=1+ 240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^{n}&=&1 + 240 q + 2160 q^2 + 6720 q^3 + 17520 q^4 + 30240 q^5+\cdots \\ E_6(\tau)&=1- 504\sum_{n=1}^\infty \sigma_5(n) q^{n}&=&1 - 504 q - 16632 q^2 - 122976 q^3 - 532728 q^4 - 1575504 q^5+\cdots \\ E_8(\tau)&=1+ 480\sum_{n=1}^\infty \sigma_7(n) q^{n}&=&1+480 q+61920 q^2+1050240 q^3+7926240 q^4+37500480 q^5+\cdots \\ \end{aligned} $$

많이 사용되는 다른 표현

\(g_2(\tau) = 60G_4=60\sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{4}}\)

\(g_3(\tau) = 140G_6=140\sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{6}}\)

weight 2 아이젠슈타인 급수

  • \(k=1\)인 경우의 아이젠슈타인급수는 위에서 얻은 푸리에 급수를 이용하여 정의\[G_{2}(\tau) = \zeta(2) \left(1-24\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{1}(n)q^{n} \right)\]
  • 원래의 정의와 비슷하게 쓰려면 절대수렴하지 않는 급수 다음과 같이 덧셈의 순서를 따름 \[G_{2}(\tau) = \frac{1}{2}\sum_{n\neq 0} \frac{1}{n^2}+\frac{1}{2}\sum_{m\neq0}\sum_{n\in\mathbb{Z}} \frac{1}{(m\tau+n)^{2}}\]
  • 정규 아이젠슈타인 급수\[E_{2}(\tau) = 1-24\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{1}(n)q^{n}\]


모듈라 성질

\(G_{2} \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{2} G_{2}(\tau)-\pi i c(c\tau+d)\)




non-holomorphic 모듈라 형식

  • \(\tau = x+ iy\), \(y > 0 \)에 대하여 다음과 정의된 함수는 모듈라 성질을 가짐\[G^{*}_{2}(\tau) = G_{2}(\tau)-\frac{\pi}{2y}\]\[E^{*}_{2}(\tau) = E_{2}(\tau)-\frac{3}{\pi y}\]
  • 모듈라 성질을 얻는대신 복소해석적 성질을 잃게 됨



special values

  • $\omega=\frac {-1+\sqrt{-3}}{2}$

$$ \begin{array}{c|c|c} & i & \omega \\ \hline E_2 & \frac{3}{\pi} & \frac{2 \sqrt{3}}{\pi } \\ \hline E_4 & 12\eta(i)^8,\frac{3\Gamma(\frac{1}{4})^8}{64 \pi ^{6}} & 0 \\ \hline E_6 & 0 & \frac{27 \Gamma \left(\frac{1}{3}\right)^{18}}{512 \pi ^{12}} \\ \end{array} $$

\[\eta(i)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})}{2 \pi ^{3/4}}\]

역사


관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스


관련도서

  • Tomio Kubota, Elementary Theory of Eisenstein Series


관련논문

사전형태의 참고자료