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*  고전적인 직교다항식의 하나
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*  확률론에서 등장
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*  물리학의 양자조화진동자의 파동함수로 기술하는데 사용됨
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==정의==
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*  로드리게즈 공식
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==직교성==
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* weight함수
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:<math>w(x) = \mathrm{e}^{-x^2}</math>
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* <math>m\neq n</math> 일 때
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:<math>\int_{-\infty}^\infty H_m(x) H_n(x)\, w(x) \, \mathrm{d}x = 0</math>
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* <math>m=n</math> 일 때
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:<math>\int_{-\infty}^\infty H_n(x) H_n(x)\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x = n! \, 2^n \sqrt{\pi}</math>
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===예===
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:<math>\int_{-\infty}^\infty H_4(x) H_4(x)\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^\infty (12-48 x^2+16 x^4)^2\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x =384\sqrt{\pi}</math>
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==3항점화식==
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<math>H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x)</math>
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==생성함수==
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==에르미트 미분방정식==
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* <math>H_n(x)</math> 는 <math>u'' - 2xu'+2n u=0</math>의 해이다   
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==목록==
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n & H_n \\
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7 & 128 x^7-1344 x^5+3360 x^3-1680 x \\
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8 & 256 x^8-3584 x^6+13440 x^4-13440 x^2+1680 \\
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9 & 512 x^9-9216 x^7+48384 x^5-80640 x^3+30240 x \\
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10 & 1024 x^{10}-23040 x^8+161280 x^6-403200 x^4+302400 x^2-30240 \\
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\end{array}
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==역사==
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* [[수학사 연표]]
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==메모==
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==관련된 항목들==
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* [[정규분포와 그 확률밀도함수]]
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==매스매티카 파일 및 계산리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxX1N2eXJYYWhNbU0/edit
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==사전 형태의 자료== 
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/에르미트_다항식
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/양자조화진동자
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials
 +
* http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_harmonic_oscillator
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* http://mathworld.wolfram.com/HermitePolynomial.html
 +
* http://mathworld.wolfram.com/HermiteDifferentialEquation.html
 +
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=Hermite+polynomials
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[[분류:특수함수]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q658574 Q658574]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'hermite'}, {'LEMMA': 'polynomial'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:53 기준 최신판

개요

  • 고전적인 직교다항식의 하나
  • 확률론에서 등장
  • 물리학의 양자조화진동자의 파동함수로 기술하는데 사용됨



정의

  • 로드리게즈 공식

\[H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})\]


직교성

  • weight함수

\[w(x) = \mathrm{e}^{-x^2}\]

  • \(m\neq n\) 일 때

\[\int_{-\infty}^\infty H_m(x) H_n(x)\, w(x) \, \mathrm{d}x = 0\]

  • \(m=n\) 일 때

\[\int_{-\infty}^\infty H_n(x) H_n(x)\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x = n! \, 2^n \sqrt{\pi}\]

예

\[\int_{-\infty}^\infty H_4(x) H_4(x)\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^\infty (12-48 x^2+16 x^4)^2\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x =384\sqrt{\pi}\]



에르미트 다항식의 미분

\(H_n'(x) = 2nH_{n-1}(x)\)



3항점화식

\(H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x)\)



생성함수

\(e^{2xt-t^2} = \sum_{n=0}^\infty H_n(x) \frac {t^n}{n!}=1+2 x t+\left(-1+2 x^2\right) t^2+\frac{2}{3} \left(-3 x+2 x^3\right) t^3+\frac{1}{6} \left(3-12 x^2+4 x^4\right) t^4+\cdots\)



에르미트 미분방정식

  • \(H_n(x)\) 는 \(u'' - 2xu'+2n u=0\)의 해이다



목록

\[ \begin{array}{c|c} n & H_n \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 2 x \\ 2 & 4 x^2-2 \\ 3 & 8 x^3-12 x \\ 4 & 16 x^4-48 x^2+12 \\ 5 & 32 x^5-160 x^3+120 x \\ 6 & 64 x^6-480 x^4+720 x^2-120 \\ 7 & 128 x^7-1344 x^5+3360 x^3-1680 x \\ 8 & 256 x^8-3584 x^6+13440 x^4-13440 x^2+1680 \\ 9 & 512 x^9-9216 x^7+48384 x^5-80640 x^3+30240 x \\ 10 & 1024 x^{10}-23040 x^8+161280 x^6-403200 x^4+302400 x^2-30240 \\ \end{array} \]


역사



메모

관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산리소스


사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'hermite'}, {'LEMMA': 'polynomial'}]
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