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| + | 2 & 4 x^2-2 \\ | ||
| + | 3 & 8 x^3-12 x \\ | ||
| + | 4 & 16 x^4-48 x^2+12 \\ | ||
| + | 5 & 32 x^5-160 x^3+120 x \\ | ||
| + | 6 & 64 x^6-480 x^4+720 x^2-120 \\ | ||
| + | 7 & 128 x^7-1344 x^5+3360 x^3-1680 x \\ | ||
| + | 8 & 256 x^8-3584 x^6+13440 x^4-13440 x^2+1680 \\ | ||
| + | 9 & 512 x^9-9216 x^7+48384 x^5-80640 x^3+30240 x \\ | ||
| + | 10 & 1024 x^{10}-23040 x^8+161280 x^6-403200 x^4+302400 x^2-30240 \\ | ||
| + | \end{array} | ||
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| + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxX1N2eXJYYWhNbU0/edit | ||
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| − | * | + | ==사전 형태의 자료== |
| − | * | + | * http://ko.wikipedia.org/wiki/에르미트_다항식 |
| + | * http://ko.wikipedia.org/wiki/양자조화진동자 | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials | * http://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials | ||
| − | * http:// | + | * http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_harmonic_oscillator |
| − | * | + | * http://mathworld.wolfram.com/HermitePolynomial.html |
| − | + | * http://mathworld.wolfram.com/HermiteDifferentialEquation.html | |
| − | + | * http://www.wolframalpha.com/input/?i=Hermite+polynomials | |
| − | + | [[분류:특수함수]] | |
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| − | + | ==메타데이터== | |
| − | + | ===위키데이터=== | |
| − | * | + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q658574 Q658574] |
| − | + | ===Spacy 패턴 목록=== | |
| − | + | * [{'LOWER': 'hermite'}, {'LEMMA': 'polynomial'}] | |
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2021년 2월 17일 (수) 05:53 기준 최신판
개요
- 고전적인 직교다항식의 하나
- 확률론에서 등장
- 물리학의 양자조화진동자의 파동함수로 기술하는데 사용됨
정의
- 로드리게즈 공식
\[H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})\]
직교성
- weight함수
\[w(x) = \mathrm{e}^{-x^2}\]
- \(m\neq n\) 일 때
\[\int_{-\infty}^\infty H_m(x) H_n(x)\, w(x) \, \mathrm{d}x = 0\]
- \(m=n\) 일 때
\[\int_{-\infty}^\infty H_n(x) H_n(x)\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x = n! \, 2^n \sqrt{\pi}\]
예
\[\int_{-\infty}^\infty H_4(x) H_4(x)\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^\infty (12-48 x^2+16 x^4)^2\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x =384\sqrt{\pi}\]
에르미트 다항식의 미분
\(H_n'(x) = 2nH_{n-1}(x)\)
3항점화식
\(H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x)\)
생성함수
\(e^{2xt-t^2} = \sum_{n=0}^\infty H_n(x) \frac {t^n}{n!}=1+2 x t+\left(-1+2 x^2\right) t^2+\frac{2}{3} \left(-3 x+2 x^3\right) t^3+\frac{1}{6} \left(3-12 x^2+4 x^4\right) t^4+\cdots\)
에르미트 미분방정식
- \(H_n(x)\) 는 \(u'' - 2xu'+2n u=0\)의 해이다
목록
\[ \begin{array}{c|c} n & H_n \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 2 x \\ 2 & 4 x^2-2 \\ 3 & 8 x^3-12 x \\ 4 & 16 x^4-48 x^2+12 \\ 5 & 32 x^5-160 x^3+120 x \\ 6 & 64 x^6-480 x^4+720 x^2-120 \\ 7 & 128 x^7-1344 x^5+3360 x^3-1680 x \\ 8 & 256 x^8-3584 x^6+13440 x^4-13440 x^2+1680 \\ 9 & 512 x^9-9216 x^7+48384 x^5-80640 x^3+30240 x \\ 10 & 1024 x^{10}-23040 x^8+161280 x^6-403200 x^4+302400 x^2-30240 \\ \end{array} \]
역사
메모
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산리소스
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/에르미트_다항식
- http://ko.wikipedia.org/wiki/양자조화진동자
- http://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials
- http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_harmonic_oscillator
- http://mathworld.wolfram.com/HermitePolynomial.html
- http://mathworld.wolfram.com/HermiteDifferentialEquation.html
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=Hermite+polynomials
메타데이터
위키데이터
- ID : Q658574
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'hermite'}, {'LEMMA': 'polynomial'}]