에르미트 다항식(Hermite polynomials)
이 항목의 스프링노트 원문주소==
개요==
- 고전적인 직교다항식의 하나
- 확률론에서 등장
- 물리학의 양자조화진동자의 파동함수로 기술하는데 사용됨
정의==
- 로드리게즈 공식
\(H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}\)
\(H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}\)
직교성==
- weight함수
\(w(x) = \mathrm{e}^{-x^2}\)
- \(m\neq n\) 일 때
\(\int_{-\infty}^\infty H_m(x) H_n(x)\, w(x) \, \mathrm{d}x = 0\)
- \(m=n\) 일 때
\(\int_{-\infty}^\infty H_n(x) H_n(x)\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x = n! \, 2^n \sqrt{\pi}\)
예
\(\int_{-\infty}^\infty H_4(x) H_4(x)\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^\infty (12-48 x^2+16 x^4)^2\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x =384\sqrt{\pi}\)
\(w(x) = \mathrm{e}^{-x^2}\)
\(\int_{-\infty}^\infty H_m(x) H_n(x)\, w(x) \, \mathrm{d}x = 0\)
\(\int_{-\infty}^\infty H_n(x) H_n(x)\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x = n! \, 2^n \sqrt{\pi}\)
예
\(\int_{-\infty}^\infty H_4(x) H_4(x)\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^\infty (12-48 x^2+16 x^4)^2\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x =384\sqrt{\pi}\)