에르미트 행렬(Hermitian matrix)과 대각화

수학노트
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개요

  • <math> A = A^\dagger</math> 를 만족하는 복소계수 정사각행렬
    • <math>A^\dagger</math> 는 A의 conjugate tranpose
  • 에르미트 행렬 H에서 유니터리 행렬 <math>U=e^{i H}</math> 를 얻을 수 있다
  • 에르미트 행렬의 스펙트럼을 구하는 문제는 물리학에서 중요하다
  • 대칭행렬 은 실수계수 에르미트 행렬이다



spectral 정리

  • <math>n\times n</math> 에르미트 행렬 A에 대하여 다음이 성립한다
    • 행렬 A는 n개(counting multiplicity)의 실수인 고유값을 갖는다
    • 행렬 A의 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 직교한다
    • 행렬 A는 유니터리 대각화 가능하다



예

<math>\begin{pmatrix} \alpha& \beta \\ \overline{\beta} &\alpha \end{pmatrix}</math>, <math>\alpha\in \mathbf{R},\beta\in\mathbf{C}</math>


실수의 고유값

  • <math>v\neq 0, Hv=\lambda v</math>라 두자.
  • <math>\lambda \langle v,v\rangle=\langle Hv,v \rangle=\langle v,H^\dagger v \rangle=\langle v,Hv \rangle=\bar{\lambda} \langle v,v\rangle </math>
  • <math>\lambda=\bar{\lambda}</math>


고유벡터의 직교

  • <math>v,w\neq 0, Hv=\lambda v, Hw=\mu v, \lambda\neq \mu</math>라 두자.
  • <math>\lambda \langle v,w\rangle=\langle Hv,w \rangle=\langle v, Hw \rangle=\langle v,Hw \rangle=\mu \langle v,w\rangle </math>
  • 따라서 <math>\langle v,w\rangle =0 </math>


예

  • 에르미트 행렬:<math>A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1+i \\ 0 & 0 & 1-i & 0 \end{array} \right)</math>
  • 행렬:<math>U=\left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{2}-\frac{i}{2} & \frac{1}{2}+\frac{i}{2} & 0 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \end{array} \right)</math> 의 각 열은 A의 고유벡터이며, <math>U^{\dagger}=U^{-1}</math> 가 성립한다.
  • <math>D=U^{\dagger}AU</math> 는 대각행렬이다:<math>D=\left( \begin{array}{cccc} -\sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)</math>

역사



메모



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  • [{'LOWER': 'hermitian'}, {'LEMMA': 'matrix'}]
  • [{'LOWER': 'self'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'adjoint'}, {'LEMMA': 'matrix'}]
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