에르미트 행렬(Hermitian matrix)과 대각화

수학노트
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개요

  • \( A = A^\dagger\) 를 만족하는 복소계수 정사각행렬
    • \(A^\dagger\) 는 A의 conjugate tranpose
  • 에르미트 행렬 H에서 유니터리 행렬 \(U=e^{i H}\) 를 얻을 수 있다
  • 에르미트 행렬의 스펙트럼을 구하는 문제는 물리학에서 중요하다
  • 대칭행렬 은 실수계수 에르미트 행렬이다



spectral 정리

  • \(n\times n\) 에르미트 행렬 A에 대하여 다음이 성립한다
    • 행렬 A는 n개(counting multiplicity)의 실수인 고유값을 갖는다
    • 행렬 A의 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 직교한다
    • 행렬 A는 유니터리 대각화 가능하다



\(\begin{pmatrix} \alpha& \beta \\ \overline{\beta} &\alpha \end{pmatrix}\), \(\alpha\in \mathbf{R},\beta\in\mathbf{C}\)


실수의 고유값

  • \(v\neq 0, Hv=\lambda v\)라 두자.
  • \(\lambda \langle v,v\rangle=\langle Hv,v \rangle=\langle v,H^\dagger v \rangle=\langle v,Hv \rangle=\bar{\lambda} \langle v,v\rangle \)
  • \(\lambda=\bar{\lambda}\)


고유벡터의 직교

  • \(v,w\neq 0, Hv=\lambda v, Hw=\mu v, \lambda\neq \mu\)라 두자.
  • \(\lambda \langle v,w\rangle=\langle Hv,w \rangle=\langle v, Hw \rangle=\langle v,Hw \rangle=\mu \langle v,w\rangle \)
  • 따라서 \(\langle v,w\rangle =0 \)


  • 에르미트 행렬\[A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1+i \\ 0 & 0 & 1-i & 0 \end{array} \right)\]
  • 행렬\[U=\left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{2}-\frac{i}{2} & \frac{1}{2}+\frac{i}{2} & 0 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \end{array} \right)\]
    의 각 열은 A의 고유벡터이며, \(U^{\dagger}=U^{-1}\) 가 성립한다.
  • \(D=U^{\dagger}AU\) 는 대각행렬이다\[D=\left( \begin{array}{cccc} -\sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\]


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