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* 3차원에서의 벡터장을 생각하자 | * 3차원에서의 벡터장을 생각하자 | ||
| − | * 바깥쪽으로 향이 주어진 단위구면 S에 대하여, 다음을 얻는다 | + | * 바깥쪽으로 향이 주어진 단위구면 S에 대하여, 다음을 얻는다:<math>\iint_{S}\mathbf F\cdot\,{d}\mathbf{S}=4\pi</math> |
| − | * (정리) | + | * (정리):<math>\nabla\times\mathbf{G}=\mathbf{F}</math> 를 만족시키는 벡터장 <math>\mathbf{G}</math>가 존재하지 않는다 (증명):<math>\nabla\times\mathbf{G}=\mathbf{F}</math> 를 만족시키는 벡터장 <math>\mathbf{G}</math> 를 가정하자.[[스토크스 정리]] 를 적용하면, <math>\iint_{S}\mathbf F\cdot\,{d}\mathbf{S}=\iint_S\ (\nabla\times\mathbf{G})\cdot\,d\mathbf{S}=\int_{\partial S}\mathbf G\cdot d\mathbf{r}=0</math> 을 얻는다. 그러나:<math>\iint_{S}\mathbf F\cdot\,{d}\mathbf{S}=4\pi</math> 이므로 모순. ■ |
| − | + | * <math>\nabla\cdot\mathbf{F}=0</math> 이라고 해서 <math>\nabla\times\mathbf{G}=\mathbf{F}</math> 를 만족시키는 벡터장 <math>\mathbf{G}</math>가 반드시 존재하는 것은 아니다 | |
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| − | + | * [[각원소 벡터장|각원소벡터장]] | |
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| − | + | ==사전 형태의 자료== | |
| − | + | * http://ko.wikipedia.org/wiki/중력장 | |
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| − | + | ==관련논문== | |
| − | * | + | * Buscaino, Brandon, Daniel DeBra, Peter W. Graham, Giorgio Gratta, and Timothy D. Wiser. “Testing Long-Distance Modifications of Gravity to 100 Astronomical Units.” arXiv:1508.06273 [astro-Ph, Physics:gr-Qc, Physics:hep-Ex, Physics:hep-Ph, Physics:hep-Th], August 25, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.06273. |
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| + | [[분류:미적분학]] | ||
2020년 12월 28일 (월) 03:44 기준 최신판
개요
- n 차원에서 정의된 벡터장\[\mathbf{F}(\mathbf{r})=\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}\]
- 중력장과 전자기장에서 중요한 역할
- \(\phi(\mathbf{r})=-\frac{1}{|\mathbf{r}|}\) 를 포텐셜로 가짐
- \(\nabla\times\mathbf{F}=0\)
- \(\nabla\cdot\mathbf{F}=0\)
적분의 응용
- 3차원에서의 벡터장을 생각하자
- 바깥쪽으로 향이 주어진 단위구면 S에 대하여, 다음을 얻는다\[\iint_{S}\mathbf F\cdot\,{d}\mathbf{S}=4\pi\]
- (정리)\[\nabla\times\mathbf{G}=\mathbf{F}\] 를 만족시키는 벡터장 \(\mathbf{G}\)가 존재하지 않는다 (증명)\[\nabla\times\mathbf{G}=\mathbf{F}\] 를 만족시키는 벡터장 \(\mathbf{G}\) 를 가정하자.스토크스 정리 를 적용하면, \(\iint_{S}\mathbf F\cdot\,{d}\mathbf{S}=\iint_S\ (\nabla\times\mathbf{G})\cdot\,d\mathbf{S}=\int_{\partial S}\mathbf G\cdot d\mathbf{r}=0\) 을 얻는다. 그러나\[\iint_{S}\mathbf F\cdot\,{d}\mathbf{S}=4\pi\] 이므로 모순. ■
- \(\nabla\cdot\mathbf{F}=0\) 이라고 해서 \(\nabla\times\mathbf{G}=\mathbf{F}\) 를 만족시키는 벡터장 \(\mathbf{G}\)가 반드시 존재하는 것은 아니다
- obstruction : second homotopy group, second cohomology group
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
관련논문
- Buscaino, Brandon, Daniel DeBra, Peter W. Graham, Giorgio Gratta, and Timothy D. Wiser. “Testing Long-Distance Modifications of Gravity to 100 Astronomical Units.” arXiv:1508.06273 [astro-Ph, Physics:gr-Qc, Physics:hep-Ex, Physics:hep-Ph, Physics:hep-Th], August 25, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.06273.